Номер 11, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

11. Внесите множитель под знак корня:

а) $6\sqrt{2}$;

б) $a\sqrt{7}$ при $a \ge 0$;

в) $b\sqrt{3}$ при $b < 0$;

г) $n\sqrt{n}$;

д) $c\sqrt{-c}$;

е) $-a\sqrt{-a}$.

Чтобы внести множитель под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Важно учитывать знак множителя:

• Если множитель $k \geq 0$, то $k\sqrt{A} = \sqrt{k^2 \cdot A}$.
• Если множитель $k < 0$, то $k\sqrt{A} = -(-k)\sqrt{A} = -\sqrt{(-k)^2 \cdot A} = -\sqrt{k^2 \cdot A}$.

а) $6\sqrt{2}$
Множитель 6 является положительным числом. Чтобы внести его под знак корня, возводим его в квадрат и умножаем на подкоренное выражение 2.
$6\sqrt{2} = \sqrt{6^2 \cdot 2} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{72}$.
Ответ: $\sqrt{72}$

б) $a\sqrt{7}$ при $a \geq 0$
По условию, множитель $a$ неотрицательный ($a \geq 0$). Вносим его под знак корня, возведя в квадрат.
$a\sqrt{7} = \sqrt{a^2 \cdot 7} = \sqrt{7a^2}$.
Ответ: $\sqrt{7a^2}$

в) $b\sqrt{3}$ при $b < 0$
По условию, множитель $b$ отрицательный ($b < 0$). В этом случае знак "минус" выносится за знак корня, а под корень вносится положительное число $-b$, возведенное в квадрат.
$b\sqrt{3} = -(-b)\sqrt{3} = -\sqrt{(-b)^2 \cdot 3} = -\sqrt{b^2 \cdot 3} = -\sqrt{3b^2}$.
Ответ: $-\sqrt{3b^2}$

г) $n\sqrt{n}$
Для того чтобы выражение $\sqrt{n}$ имело смысл, необходимо, чтобы $n \geq 0$. Следовательно, множитель $n$ является неотрицательным. Вносим его под знак корня.
$n\sqrt{n} = \sqrt{n^2 \cdot n} = \sqrt{n^3}$.
Ответ: $\sqrt{n^3}$

д) $c\sqrt{-c}$
Выражение $\sqrt{-c}$ определено, если $-c \geq 0$, то есть $c \leq 0$. Множитель $c$ является неположительным. Поступаем так же, как в пункте в): выносим знак "минус" и вносим под корень положительное число $-c$.
$c\sqrt{-c} = -(-c)\sqrt{-c} = -\sqrt{(-c)^2 \cdot (-c)} = -\sqrt{c^2(-c)} = -\sqrt{-c^3}$.
Ответ: $-\sqrt{-c^3}$

е) $-a\sqrt{-a}$
Выражение $\sqrt{-a}$ определено, если $-a \geq 0$, то есть $a \leq 0$. Множитель, который мы вносим под корень, это $(-a)$. Поскольку $a \leq 0$, то $(-a) \geq 0$. Следовательно, мы можем внести неотрицательный множитель $(-a)$ под знак корня, возведя его в квадрат.
$-a\sqrt{-a} = \sqrt{(-a)^2 \cdot (-a)} = \sqrt{(-a)^3} = \sqrt{-a^3}$.
Ответ: $\sqrt{-a^3}$