Номер 4, страница 246 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Вычислите:

а) $(\sqrt{3})^2 + \sqrt{2,25}$;

б) $(2\sqrt{5})^2 - (5\sqrt{2})^2$;

в) $(-\sqrt{6})^2 + (-3\sqrt{7})^2$;

г) $\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 + \sqrt{1\frac{19}{81}}$.

а) $(\sqrt{3})^2 + \sqrt{2,25}$

Для решения этого примера воспользуемся основными свойствами квадратного корня. По определению, для любого неотрицательного числа $a$ справедливо равенство $(\sqrt{a})^2 = a$.

Вычисляем первый член выражения:

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Для вычисления второго члена $\sqrt{2,25}$ представим десятичную дробь $2,25$ в виде обыкновенной дроби:

$2,25 = \frac{225}{100}$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{2,25} = \sqrt{\frac{225}{100}} = \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{100}} = \frac{15}{10} = 1,5$

Складываем полученные значения:

$3 + 1,5 = 4,5$

Ответ: 4,5.

б) $(2\sqrt{5})^2 - (5\sqrt{2})^2$

Используем свойство степени произведения $(ab)^2 = a^2b^2$ и определение квадратного корня $(\sqrt{a})^2 = a$.

Вычисляем уменьшаемое:

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Вычисляем вычитаемое:

$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$

Находим разность:

$20 - 50 = -30$

Ответ: -30.

в) $(-\sqrt{6})^2 + (-3\sqrt{7})^2$

При возведении в четную степень (в данном случае в квадрат) отрицательное число дает положительный результат. Используем это, а также свойство $(ab)^2 = a^2b^2$.

Вычисляем первое слагаемое:

$(-\sqrt{6})^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$

Вычисляем второе слагаемое:

$(-3\sqrt{7})^2 = (-3)^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$

Складываем полученные значения:

$6 + 63 = 69$

Ответ: 69.

г) $(\frac{\sqrt{2}}{3})^2 + \sqrt{1\frac{19}{81}}$

Рассмотрим каждый член выражения по отдельности.

Для первого члена используем свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$:

$(\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{(\sqrt{2})^2}{3^2} = \frac{2}{9}$

Для второго члена сначала преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь:

$1\frac{19}{81} = \frac{1 \cdot 81 + 19}{81} = \frac{100}{81}$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{100}{81}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{81}} = \frac{10}{9}$

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{2}{9} + \frac{10}{9} = \frac{2+10}{9} = \frac{12}{9}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{4}{3}$:

$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: 1$\frac{1}{3}$.