Номер 2, страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Число $x$ таково, что среди четырех чисел $x - \sqrt{2}$; $x^2 - 2\sqrt{2}$; $x + \frac{1}{x}$ и $x - \frac{1}{x}$ ровно одно не является целым. Найдите все такие $x$.

Обозначим данные четыре числа как $A = x - \sqrt{2}$, $B = x^2 - 2\sqrt{2}$, $C = x + \frac{1}{x}$ и $D = x - \frac{1}{x}$. По условию, ровно три из этих чисел являются целыми.

Рассмотрим взаимосвязь между числами $C$ и $D$. Если предположить, что оба они целые, $C=k_C$ и $D=k_D$, то $C^2-D^2=(x+\frac{1}{x})^2 - (x-\frac{1}{x})^2 = 4$, откуда $k_C^2-k_D^2=4$. Решения этого диофантова уравнения в целых числах — $(\pm 2, 0)$.

• Если $(k_C, k_D) = (2, 0)$, то $x=\frac{C+D}{2}=1$. Числа: $1-\sqrt{2}, 1-2\sqrt{2}, 2, 0$. Здесь два целых числа, что противоречит условию.
• Если $(k_C, k_D) = (-2, 0)$, то $x=\frac{C+D}{2}=-1$. Числа: $-1-\sqrt{2}, 1-2\sqrt{2}, -2, 0$. Здесь также два целых числа.

Следовательно, $C$ и $D$ не могут быть целыми одновременно. Это означает, что нецелым числом может быть только $C$ или $D$, так как в противном случае (если бы нецелым было $A$ или $B$) $C$ и $D$ были бы целыми, что мы исключили. Рассмотрим эти два случая.

Это означает, что $A, B, D$ — целые числа. Пусть $A = k_A \in \mathbb{Z}$. Тогда $x = k_A + \sqrt{2}$. Так как $B=x^2-2\sqrt{2}$ также целое, получаем: $B = (k_A+\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} = (k_A^2+2) + (2k_A-2)\sqrt{2}$. Чтобы $B$ было целым, необходимо $2k_A-2=0$, то есть $k_A=1$. Отсюда $x = 1+\sqrt{2}$. Проверим все четыре числа для $x=1+\sqrt{2}$: $A = 1+\sqrt{2}-\sqrt{2} = 1$ (целое). $B = (1+\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} = 3$ (целое). $D = (1+\sqrt{2}) - \frac{1}{1+\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2} - (\sqrt{2}-1)= 2$ (целое). $C = (1+\sqrt{2}) + \frac{1}{1+\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2} + (\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}$ (нецелое). Этот случай соответствует условию задачи. Ответ: $x = 1+\sqrt{2}$.

Это означает, что $A, B, C$ — целые числа. Как и в первом случае, из целочисленности $A$ и $B$ следует, что $x=1+\sqrt{2}$. Но для этого $x$ мы уже вычислили, что $C=2\sqrt{2}$, что не является целым. Это противоречит условию данного случая. Ответ: решений нет.

Таким образом, единственное значение $x$, удовлетворяющее всем условиям, было найдено в первом случае.