Номер 7, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Используйте свойства арифметического квадратного корня для вычисления значения выражения:

а) $\sqrt{80} + \sqrt{1,25} - \frac{1}{14}\sqrt{245} - \sqrt{180};$

б) $(2 - \sqrt{3})^2 (7 + 4\sqrt{3}) + 3\sqrt{12\frac{1}{4}}.$

а) $\sqrt{80} + \sqrt{1,25} - \frac{1}{14}\sqrt{245} - \sqrt{180}$

Для решения данного примера необходимо упростить каждый член выражения, вынеся множитель из-под знака корня. Цель состоит в том, чтобы привести все слагаемые к общему радикалу.

1. Упростим $\sqrt{80}$. Разложим 80 на множители: $80 = 16 \cdot 5$.
   $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.

2. Упростим $\sqrt{1,25}$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.
   $\sqrt{1,25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

3. Упростим $\frac{1}{14}\sqrt{245}$. Разложим 245 на множители: $245 = 49 \cdot 5$.
   $\frac{1}{14}\sqrt{245} = \frac{1}{14}\sqrt{49 \cdot 5} = \frac{1}{14} \cdot (\sqrt{49} \cdot \sqrt{5}) = \frac{1}{14} \cdot 7\sqrt{5} = \frac{7}{14}\sqrt{5} = \frac{1}{2}\sqrt{5}$.

4. Упростим $\sqrt{180}$. Разложим 180 на множители: $180 = 36 \cdot 5$.
   $\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$4\sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{5} - 6\sqrt{5}$

Сгруппируем подобные слагаемые. Слагаемые $\frac{\sqrt{5}}{2}$ и $-\frac{1}{2}\sqrt{5}$ взаимно уничтожаются.

$4\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = (4-6)\sqrt{5} = -2\sqrt{5}$

Ответ: $-2\sqrt{5}$

б) $(2 - \sqrt{3})^{2}(7 + 4\sqrt{3}) + 3\sqrt{12\frac{1}{4}}$

Вычислим значение выражения по частям.

Часть 1: $(2 - \sqrt{3})^{2}(7 + 4\sqrt{3})$

1. Сначала раскроем скобку $(2 - \sqrt{3})^{2}$ по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

   $(2 - \sqrt{3})^{2} = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$.

2. Теперь умножим полученный результат на вторую скобку $(7 + 4\sqrt{3})$:

   $(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})$

   Это выражение является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=4\sqrt{3}$:

   $7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (4^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = 49 - (16 \cdot 3) = 49 - 48 = 1$.

Часть 2: $3\sqrt{12\frac{1}{4}}$

1. Преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь:

   $12\frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{49}{4}$.

2. Теперь извлечем корень и умножим на 3:

   $3\sqrt{\frac{49}{4}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}} = 3 \cdot \frac{7}{2} = \frac{21}{2}$.

Сложение результатов:

Сложим результаты вычисления обеих частей:

$1 + \frac{21}{2} = \frac{2}{2} + \frac{21}{2} = \frac{23}{2}$.

Преобразуем неправильную дробь $\frac{23}{2}$ в смешанное число:

$\frac{23}{2} = 11\frac{1}{2}$.

Ответ: 11$\frac{1}{2}$