Номер 10, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Упростите выражение:

a) $ \sqrt{(y-3)^2} + \sqrt{(5-y)^2} $ при $ 3 \le y \le 5; $

б) $ \sqrt{4a^2 + 4a + 1} - \sqrt{9a^2} $ при $ -4 < a < -2. $

а) Упростим выражение $\sqrt{(y-3)^2} + \sqrt{(5-y)^2}$ при условии $3 \le y \le 5$.
Используем основное свойство квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$.
Тогда исходное выражение можно переписать в виде:
$\sqrt{(y-3)^2} + \sqrt{(5-y)^2} = |y-3| + |5-y|$
Теперь раскроем модули, учитывая заданный промежуток для $y$: $3 \le y \le 5$.
1. Рассмотрим выражение $y-3$. Так как $y \ge 3$, то $y-3 \ge 0$. Следовательно, $|y-3| = y-3$.
2. Рассмотрим выражение $5-y$. Так как $y \le 5$, то $5-y \ge 0$. Следовательно, $|5-y| = 5-y$.
Подставим раскрытые модули обратно в выражение:
$(y-3) + (5-y) = y - 3 + 5 - y = (y - y) + (5 - 3) = 0 + 2 = 2$.
Ответ: 2

б) Упростим выражение $\sqrt{4a^2 + 4a + 1} - \sqrt{9a^2}$ при условии $-4 < a < -2$.
Сначала преобразуем подкоренные выражения.
1. Выражение $4a^2 + 4a + 1$ является полным квадратом: $4a^2 + 4a + 1 = (2a+1)^2$.
2. Выражение $9a^2$ также является полным квадратом: $9a^2 = (3a)^2$.
Теперь выражение можно записать так:
$\sqrt{(2a+1)^2} - \sqrt{(3a)^2}$
Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$:
$|2a+1| - |3a|$
Раскроем модули, учитывая, что $-4 < a < -2$.
1. Определим знак выражения $2a+1$. Если $-4 < a < -2$, умножим неравенство на 2: $-8 < 2a < -4$. Теперь прибавим 1: $-8+1 < 2a+1 < -4+1$, что дает $-7 < 2a+1 < -3$. Значит, выражение $2a+1$ отрицательно, и $|2a+1| = -(2a+1) = -2a-1$.
2. Определим знак выражения $3a$. Так как $a$ находится в интервале от -4 до -2, $a$ - отрицательное число. Следовательно, $3a$ также отрицательно. Значит, $|3a| = -(3a) = -3a$.
Подставим раскрытые модули в выражение и упростим:
$(-2a-1) - (-3a) = -2a - 1 + 3a = (-2a + 3a) - 1 = a - 1$.
Ответ: $a - 1$