Номер 12, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

12. Найдите значение выражения $A + B + C + D$, если известно, что:

$A = (\sqrt{28} - \sqrt{175} + 2\sqrt{63}) : (2\sqrt{7});$

$B = (2\sqrt{3} + 5)^2 + (10 - \sqrt{3})^2;$

$C = \frac{2}{3}\sqrt{27} + \sqrt{2} \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{6});$

$D = \sqrt{(1 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}.$

Для того чтобы найти значение выражения $A + B + C + D$, необходимо последовательно вычислить значение каждого слагаемого.

A. Найдем значение выражения A:

$A = (\sqrt{28} - \sqrt{175} + 2\sqrt{63}) : (2\sqrt{7})$

Сначала упростим выражения под знаком корня, вынеся множитель за его пределы:

• $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$
• $\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7}$
• $\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$A = (2\sqrt{7} - 5\sqrt{7} + 2 \cdot 3\sqrt{7}) : (2\sqrt{7})$

$A = (2\sqrt{7} - 5\sqrt{7} + 6\sqrt{7}) : (2\sqrt{7})$

Выполним действия в скобках:

$A = (2 - 5 + 6)\sqrt{7} : (2\sqrt{7}) = 3\sqrt{7} : (2\sqrt{7})$

Выполним деление, чтобы найти окончательное значение A:

$A = \frac{3\sqrt{7}}{2\sqrt{7}} = \frac{3}{2}$

A. Ответ: 1$\frac{1}{2}$

B. Найдем значение выражения B:

$B = (2\sqrt{3} + 5)^2 + (10 - \sqrt{3})^2$

Используем формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(2\sqrt{3} + 5)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 5 + 5^2 = 4 \cdot 3 + 20\sqrt{3} + 25 = 12 + 20\sqrt{3} + 25 = 37 + 20\sqrt{3}$

$(10 - \sqrt{3})^2 = 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 100 - 20\sqrt{3} + 3 = 103 - 20\sqrt{3}$

Сложим полученные результаты:

$B = (37 + 20\sqrt{3}) + (103 - 20\sqrt{3}) = 37 + 103 + 20\sqrt{3} - 20\sqrt{3} = 140$

B. Ответ: 140

C. Найдем значение выражения C:

$C = \frac{2}{3}\sqrt{27} + \sqrt{2} \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{6})$

Упростим каждое слагаемое по отдельности:

Первое слагаемое: $\frac{2}{3}\sqrt{27} = \frac{2}{3}\sqrt{9 \cdot 3} = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Второе слагаемое: $\sqrt{2} \cdot (\sqrt{8} - \sqrt{6}) = \sqrt{2 \cdot 8} - \sqrt{2 \cdot 6} = \sqrt{16} - \sqrt{12} = 4 - \sqrt{4 \cdot 3} = 4 - 2\sqrt{3}$

Сложим полученные результаты:

$C = 2\sqrt{3} + (4 - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} + 4 - 2\sqrt{3} = 4$

C. Ответ: 4

D. Найдем значение выражения D:

$D = \sqrt{(1 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}$

Используем свойство корня $\sqrt{x^2} = |x|$ (модуль числа x):

$D = |1 - \sqrt{7}| + |3 - \sqrt{7}|$

Определим знаки выражений под модулем. Так как $\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{7} < 3$.

• Выражение $1 - \sqrt{7}$ является отрицательным, следовательно $|1 - \sqrt{7}| = -(1 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 1$.
• Выражение $3 - \sqrt{7}$ является положительным, следовательно $|3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7}$.

Подставим значения модулей в выражение для D:

$D = (\sqrt{7} - 1) + (3 - \sqrt{7}) = \sqrt{7} - 1 + 3 - \sqrt{7} = 2$

D. Ответ: 2

Наконец, найдем итоговую сумму $A + B + C + D$:

$A + B + C + D = 1\frac{1}{2} + 140 + 4 + 2 = 1\frac{1}{2} + 146 = 147\frac{1}{2}$

Итоговое значение выражения. Ответ: 147$\frac{1}{2}$