Номер 5, страница 246 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. Используя свойства квадратного корня, вычислите:

а) $\sqrt{0,16 \cdot 49}$;

б) $\sqrt{2 \cdot 800}$;

в) $\sqrt{160} \cdot \sqrt{250}$;

г) $\sqrt{108} \cdot \sqrt{3}$;

д) $\sqrt{\frac{36}{169}}$;

е) $\sqrt{18\frac{1}{16}}$;

ж) $\frac{\sqrt{288}}{\sqrt{2}}$;

з) $\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{0,225}}$;

и) $\frac{\sqrt{64,8}}{\sqrt{0,2}}$.

а) Для вычисления $\sqrt{0,16 \cdot 49}$ воспользуемся свойством "корень из произведения равен произведению корней": $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

$\sqrt{0,16 \cdot 49} = \sqrt{0,16} \cdot \sqrt{49}$

Так как $0,4^2 = 0,16$ и $7^2 = 49$, то:

$\sqrt{0,16} \cdot \sqrt{49} = 0,4 \cdot 7 = 2,8$

Ответ: 2,8.

б) Сначала выполним умножение под знаком корня:

$\sqrt{2 \cdot 800} = \sqrt{1600}$

Далее извлекаем корень. Так как $40^2 = 1600$, получаем:

$\sqrt{1600} = 40$

Ответ: 40.

в) Для вычисления $\sqrt{160} \cdot \sqrt{250}$ воспользуемся свойством "произведение корней равно корню из произведения": $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{160} \cdot \sqrt{250} = \sqrt{160 \cdot 250} = \sqrt{(16 \cdot 10) \cdot (25 \cdot 10)} = \sqrt{16 \cdot 25 \cdot 100}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt{16} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{100} = 4 \cdot 5 \cdot 10 = 200$

Ответ: 200.

г) Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{108} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{108 \cdot 3} = \sqrt{324}$

Так как $18^2 = 324$, то:

$\sqrt{324} = 18$

Ответ: 18.

д) Для вычисления $\sqrt{\frac{36}{169}}$ используем свойство "корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя": $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

$\sqrt{\frac{36}{169}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{169}}$

Так как $6^2 = 36$ и $13^2 = 169$, получаем:

$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{169}} = \frac{6}{13}$

Ответ: $\frac{6}{13}$.

е) Сначала преобразуем смешанное число $18\frac{1}{16}$ в неправильную дробь:

$18\frac{1}{16} = \frac{18 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{288 + 1}{16} = \frac{289}{16}$

Теперь извлечем корень из полученной дроби, используя свойство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

$\sqrt{\frac{289}{16}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{16}}$

Так как $17^2=289$ и $4^2=16$, получаем неправильную дробь:

$\frac{17}{4}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:

$\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$

Ответ: $4\frac{1}{4}$.

ж) Для вычисления $\frac{\sqrt{288}}{\sqrt{2}}$ воспользуемся свойством "частное корней равно корню из частного": $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt{288}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{288}{2}} = \sqrt{144}$

Так как $12^2 = 144$, то:

$\sqrt{144} = 12$

Ответ: 12.

з) Используем свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{0,225}} = \sqrt{\frac{90}{0,225}}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель подкоренной дроби на 1000:

$\sqrt{\frac{90 \cdot 1000}{0,225 \cdot 1000}} = \sqrt{\frac{90000}{225}}$

Так как $\frac{90000}{225} = 400$, получаем:

$\sqrt{400} = 20$

Ответ: 20.

и) Используем свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{64,8}}{\sqrt{0,2}} = \sqrt{\frac{64,8}{0,2}}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель подкоренной дроби на 10:

$\sqrt{\frac{64,8 \cdot 10}{0,2 \cdot 10}} = \sqrt{\frac{648}{2}} = \sqrt{324}$

Так как $18^2 = 324$, то:

$\sqrt{324} = 18$

Ответ: 18.