Исследовательское задание, страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

Исследовательское задание

а) Постройте графики функций $f_1(x) = 2|x|$; $g_1(x) = 2\sqrt{x}$; $h_1(x) = 2x^3$ и $f_2(x) = 0,5|x|$; $g_2(x) = 0,5\sqrt{x}$; $h_2(x) = 0,5x^3$.

б) Обобщите полученные результаты для функций вида $f(x) = k|x|$; $g(x) = k\sqrt{x}$ и $h(x) = kx^3$, где $k \neq 0$.

а) Для построения графиков функций проанализируем, как коэффициент перед функцией влияет на ее базовый вид. Построение графика функции $y = k \cdot F(x)$ сводится к преобразованию графика $y = F(x)$. В данном случае коэффициент $k$ отвечает за вертикальное растяжение или сжатие графика.

1. Функции $f_1(x) = 2|x|$ и $f_2(x) = 0,5|x|$

Базовый график - $y = |x|$. Это две прямые: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в точке $(0, 0)$.

• График $f_1(x) = 2|x|$: получается из графика $y = |x|$ растяжением вдоль оси OY в 2 раза. Каждая ордината точки графика $y = |x|$ умножается на 2. График также проходит через начало координат, но его ветви расположены "круче", ближе к оси OY. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(-1, 2)$.
• График $f_2(x) = 0,5|x|$ (или $f_2(x) = \frac{1}{2}|x|$): получается из графика $y = |x|$ сжатием к оси OX в 2 раза (или растяжением вдоль оси OY с коэффициентом 0,5). Каждая ордината точки графика $y = |x|$ умножается на 0,5. Ветви этого графика более "пологие", дальше от оси OY. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 0.5)$, $(-1, 0.5)$, $(2, 1)$.

2. Функции $g_1(x) = 2\sqrt{x}$ и $g_2(x) = 0,5\sqrt{x}$

Базовый график - $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричной относительно оси OX, расположенная в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$.

• График $g_1(x) = 2\sqrt{x}$: получается из графика $y = \sqrt{x}$ растяжением вдоль оси OY в 2 раза. График начинается в точке $(0, 0)$ и растет быстрее, чем $y=\sqrt{x}$. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(4, 4)$.
• График $g_2(x) = 0,5\sqrt{x}$ (или $g_2(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}$): получается из графика $y = \sqrt{x}$ сжатием к оси OX в 2 раза. График начинается в точке $(0, 0)$ и растет медленнее, чем $y=\sqrt{x}$. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 0.5)$, $(4, 1)$.

3. Функции $h_1(x) = 2x^3$ и $h_2(x) = 0,5x^3$

Базовый график - $y = x^3$ (кубическая парабола). График симметричен относительно начала координат, проходит через точку $(0, 0)$ и расположен в первой и третьей координатных четвертях.

• График $h_1(x) = 2x^3$: получается из графика $y = x^3$ растяжением вдоль оси OY в 2 раза. График становится "круче", быстрее возрастает (и убывает). Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 2)$, $(-1, -2)$.
• График $h_2(x) = 0,5x^3$ (или $h_2(x) = \frac{1}{2}x^3$): получается из графика $y = x^3$ сжатием к оси OX в 2 раза. График становится более "пологим". Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 0.5)$, $(-1, -0.5)$.

Ответ: Графики функций $y = k \cdot F(x)$ с коэффициентом $k > 1$ (в нашем случае $k=2$) получаются из базовых графиков $y = F(x)$ путем вертикального растяжения вдоль оси OY. Графики с коэффициентом $0 < k < 1$ (в нашем случае $k=0,5$) получаются путем вертикального сжатия к оси OX.

б) Обобщим полученные результаты для функций вида $f(x) = k|x|$, $g(x) = k\sqrt{x}$ и $h(x) = kx^3$, где $k \neq 0$.

Коэффициент $k$ в уравнении функции $y = k \cdot F(x)$ отвечает за два вида преобразований графика базовой функции $y=F(x)$:

1. Вертикальное растяжение/сжатие: Величина $|k|$ (модуль k) определяет степень растяжения или сжатия графика вдоль оси OY.
   • Если $|k| > 1$, происходит растяжение графика от оси OX в $|k|$ раз.
   • Если $0 < |k| < 1$, происходит сжатие графика к оси OX в $1/|k|$ раз.
2. Отражение относительно оси OX: Знак коэффициента $k$ определяет, будет ли график отражен.
   • Если $k > 0$, график расположен в тех же полуплоскостях относительно оси OX, что и базовый.
   • Если $k < 0$, происходит симметричное отражение графика относительно оси OX.

Применительно к данным функциям:

• $f(x) = k|x|$: График - это V-образная кривая с вершиной в $(0,0)$. При $k>0$ ветви направлены вверх, при $k<0$ - вниз. При $|k|>1$ ветви "уже" (ближе к оси OY), чем у $y=|x|$, при $0<|k|<1$ - "шире" (дальше от оси OY).
• $g(x) = k\sqrt{x}$ (область определения $x \ge 0$): График - ветвь параболы, выходящая из $(0,0)$. При $k>0$ график лежит в I четверти, при $k<0$ - в IV четверти. При $|k|>1$ график "круче" поднимается/опускается, при $0<|k|<1$ - более "полого".
• $h(x) = kx^3$: График - кубическая парабола, симметричная относительно $(0,0)$. При $k>0$ график расположен в I и III четвертях, при $k<0$ - во II и IV четвертях. При $|k|>1$ график "круче", чем $y=x^3$, при $0<|k|<1$ - "положе".

Ответ: График функции $y = k \cdot F(x)$ получается из графика функции $y = F(x)$ путем растяжения вдоль оси OY с коэффициентом $|k|$ (если $|k|>1$) или сжатия к оси OX с коэффициентом $1/|k|$ (если $0<|k|<1$), с последующим отражением относительно оси OX, если $k<0$.