Номер 10, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Задайте формулой обратную пропорциональность, график которой проходит через одну из точек пересечения графиков функций $y = |x|$ и $y = x^3$.

Общий вид формулы обратной пропорциональности — $y = \frac{k}{x}$, где $k$ — коэффициент пропорциональности, не равный нулю. Чтобы найти этот коэффициент, необходимо использовать координаты точки, через которую проходит график функции.

По условию, график искомой функции проходит через одну из точек пересечения графиков функций $y = |x|$ и $y = x^3$. Для нахождения этих точек необходимо решить уравнение:

Разобьем решение на два случая, в зависимости от знака $x$.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

Корни уравнения: $x=0$, $x=1$, $x=-1$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяют только $x=0$ и $x=1$.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

Выражение $x^2+1$ всегда больше нуля, поэтому единственным действительным корнем является $x=0$. Однако он не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Таким образом, мы имеем две точки пересечения. Найдем их координаты:

• Если $x=0$, то $y = 0^3 = 0$. Точка $A(0; 0)$.
• Если $x=1$, то $y = 1^3 = 1$. Точка $B(1; 1)$.

Теперь определим, через какую из этих точек может проходить график обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$.

• Точка $A(0; 0)$: при подстановке в формулу получаем $0 = \frac{k}{0}$. Это выражение не определено, так как деление на ноль невозможно. Следовательно, график обратной пропорциональности не проходит через начало координат.
• Точка $B(1; 1)$: при подстановке координат в формулу получаем $1 = \frac{k}{1}$, откуда следует, что $k=1$.

Таким образом, искомая формула обратной пропорциональности, проходящая через точку $(1; 1)$, имеет коэффициент $k=1$.

Формула обратной пропорциональности: Ответ: $y = \frac{1}{x}$