Номер 8, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Вычислите $f(-1,2) + f(1,2) + g(7,8) + g(-7,8) + h(9,5) - h(-9,5)$, если $f(x) = \frac{79}{x}$, $g(x) = x^3$, $h(x) = |x|$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами четности и нечетности функций. Это позволит значительно упростить вычисления, не находя значения каждой функции в отдельности.

Напомним определения:

• Функция $y=f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Важным свойством нечетной функции является то, что сумма ее значений в противоположных точках равна нулю: $f(-a) + f(a) = 0$.
• Функция $y=f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Важным свойством четной функции является то, что ее значения в противоположных точках равны: $f(-a) = f(a)$.

Проверим данные в условии функции на четность/нечетность:

1. $f(x) = \frac{79}{x}$. Проверяем: $f(-x) = \frac{79}{-x} = -\frac{79}{x} = -f(x)$. Следовательно, функция нечетная.
2. $g(x) = x^3$. Проверяем: $g(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -g(x)$. Следовательно, функция нечетная.
3. $h(x) = |x|$. Проверяем: $h(-x) = |-x| = |x| = h(x)$. Следовательно, функция четная.

Теперь сгруппируем слагаемые в исходном выражении и вычислим значение каждой группы, используя найденные свойства.

Исходное выражение: $f(-1,2) + f(1,2) + g(7,8) + g(-7,8) + h(9,5) - h(-9,5)$

Группируем: $(f(-1,2) + f(1,2)) + (g(7,8) + g(-7,8)) + (h(9,5) - h(-9,5))$

f(-1,2) + f(1,2)
Так как функция $f(x)$ является нечетной, сумма ее значений для противоположных аргументов $x=1,2$ и $x=-1,2$ равна нулю.
Ответ: 0

g(7,8) + g(-7,8)
Так как функция $g(x)$ является нечетной, сумма ее значений для противоположных аргументов $x=7,8$ и $x=-7,8$ также равна нулю.
Ответ: 0

h(9,5) - h(-9,5)
Так как функция $h(x)$ является четной, ее значения для противоположных аргументов $x=9,5$ и $x=-9,5$ равны, то есть $h(-9,5) = h(9,5)$.
Следовательно, их разность равна нулю: $h(9,5) - h(9,5) = 0$.
Ответ: 0

Теперь подставим полученные значения в сгруппированное выражение:

$0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, значение всего выражения равно 0.