Номер 7, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

7. Расположите в порядке возрастания $f(5,12)$; $f(13,7)$; $f(9,29)$, если:

a) $f(x) = |x|$;

б) $f(x) = \sqrt{x}$;

в) $f(x) = \frac{k}{x}, k > 0$;

г) $f(x) = x^3$.

Для того чтобы расположить значения функции в порядке возрастания, необходимо сначала сравнить ее аргументы. В данной задаче будем считать, что запись $f(a,b)$ означает $f(\frac{a}{b})$.

Аргументами функции являются дроби: $x_1 = \frac{5}{12}$, $x_2 = \frac{13}{7}$, $x_3 = \frac{9}{29}$.

Сравним эти аргументы:

1. Дробь $\frac{13}{7}$ является неправильной, так как числитель больше знаменателя ($13 > 7$). Она больше единицы: $\frac{13}{7} = 1\frac{6}{7}$.
2. Дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{9}{29}$ являются правильными, так как у них числитель меньше знаменателя. Следовательно, они обе меньше единицы.
3. Сравним правильные дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{9}{29}$, приведя их к общему знаменателю:
   $\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 29}{12 \cdot 29} = \frac{145}{348}$
   $\frac{9}{29} = \frac{9 \cdot 12}{29 \cdot 12} = \frac{108}{348}$
   Поскольку $108 < 145$, то $\frac{9}{29} < \frac{5}{12}$.

Таким образом, мы установили порядок возрастания для аргументов: $\frac{9}{29} < \frac{5}{12} < \frac{13}{7}$.

Теперь рассмотрим каждый случай для функции $f(x)$.

а) Для функции $f(x) = |x|$.
Поскольку все аргументы ($\frac{9}{29}, \frac{5}{12}, \frac{13}{7}$) являются положительными числами, то $f(x) = |x| = x$. Функция $f(x) = x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, порядок значений функции совпадает с порядком аргументов: $f(\frac{9}{29}) < f(\frac{5}{12}) < f(\frac{13}{7})$. Значение $f(13,7) = f(\frac{13}{7}) = \frac{13}{7} = \mathbf{1}\frac{6}{7}$.
Ответ: $f(9,29); f(5,12); f(13,7)$.б) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$.
Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Поэтому порядок значений функции будет таким же, как и порядок ее аргументов: $f(\frac{9}{29}) < f(\frac{5}{12}) < f(\frac{13}{7})$.
Ответ: $f(9,29); f(5,12); f(13,7)$.в) Для функции $f(x) = \frac{k}{x}$, где $k > 0$.
Функция $f(x) = \frac{k}{x}$ при $k>0$ является убывающей на промежутке $(0, +\infty)$. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, порядок значений функции будет обратным порядку аргументов: $f(\frac{13}{7}) < f(\frac{5}{12}) < f(\frac{9}{29})$. Значения функции:$f(5,12) = f(\frac{5}{12}) = \frac{k}{5/12} = \frac{12k}{5} = \mathbf{2}\frac{2}{5}k$.$f(9,29) = f(\frac{9}{29}) = \frac{k}{9/29} = \frac{29k}{9} = \mathbf{3}\frac{2}{9}k$.
Ответ: $f(13,7); f(5,12); f(9,29)$.г) Для функции $f(x) = x^3$.
Функция $f(x) = x^3$ является возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, порядок значений функции совпадает с порядком аргументов: $f(\frac{9}{29}) < f(\frac{5}{12}) < f(\frac{13}{7})$. Найдем значение для $f(13,7) = f(\frac{13}{7}) = (\frac{13}{7})^3 = \frac{13^3}{7^3} = \frac{2197}{343}$. Выделим целую часть из этой неправильной дроби: $2197 \div 343 = 6$ и остаток $139$. Таким образом, $f(13,7) = \mathbf{6}\frac{139}{343}$.
Ответ: $f(9,29); f(5,12); f(13,7)$.