Номер 6, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Для каждой из функций $f(x)=|x|$; $f(x)=\sqrt{x}$; $f(x)=\frac{k}{x}, k<0$, и $f(x)=x^3$ укажите:
а) область определения функции;
б) множество значений функции;
в) нули функции;
г) промежутки знакопостоянства функции;
д) промежутки монотонности функции.

Для функции $f(x) = |x|$:

• а) область определения функции. Ответ: все действительные числа, то есть промежуток $(-\infty; +\infty)$.
• б) множество значений функции. Ответ: все неотрицательные числа, то есть промежуток $[0; +\infty)$.
• в) нули функции. Ответ: $x = 0$.
• г) промежутки знакопостоянства функции. Ответ: функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; функция не принимает отрицательных значений.
• д) промежутки монотонности функции. Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Для функции $f(x) = \sqrt{x}$:

• а) область определения функции. Ответ: все неотрицательные числа, то есть промежуток $[0; +\infty)$.
• б) множество значений функции. Ответ: все неотрицательные числа, то есть промежуток $[0; +\infty)$.
• в) нули функции. Ответ: $x = 0$.
• г) промежутки знакопостоянства функции. Ответ: функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (0; +\infty)$; функция не принимает отрицательных значений.
• д) промежутки монотонности функции. Ответ: функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $[0; +\infty)$.

Для функции $f(x) = \frac{k}{x}$, $k < 0$:

• а) область определения функции. Ответ: все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• б) множество значений функции. Ответ: все действительные числа, кроме $y=0$, то есть $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• в) нули функции. Ответ: нулей нет, так как $k \neq 0$.
• г) промежутки знакопостоянства функции. Ответ: функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (-\infty; 0)$; функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (0; +\infty)$.
• д) промежутки монотонности функции. Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

Для функции $f(x) = x^3$:

• а) область определения функции. Ответ: все действительные числа, то есть промежуток $(-\infty; +\infty)$.
• б) множество значений функции. Ответ: все действительные числа, то есть промежуток $(-\infty; +\infty)$.
• в) нули функции. Ответ: $x = 0$.
• г) промежутки знакопостоянства функции. Ответ: функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (0; +\infty)$; функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (-\infty; 0)$.
• д) промежутки монотонности функции. Ответ: функция возрастает на всей области определения, то есть на промежутке $(-\infty; +\infty)$.