Номер 4.115, страница 242 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.115. Представьте в виде произведения:

a) $(y+2)^2 - 2y(y+2);$

б) $-3y^2 + 10y - 3.$

а) Чтобы представить выражение $(y + 2)^2 - 2y(y + 2)$ в виде произведения, необходимо найти общий множитель и вынести его за скобки. В данном выражении общий множитель — это $(y + 2)$.

Вынесем $(y + 2)$ за скобки:

$(y + 2)^2 - 2y(y + 2) = (y + 2) \cdot ((y + 2) - 2y)$

Далее, упростим выражение во вторых скобках:

$(y + 2) - 2y = y - 2y + 2 = -y + 2 = 2 - y$

Таким образом, исходное выражение в виде произведения выглядит так:

$(y + 2)(2 - y)$

Ответ: $(y + 2)(2 - y)$

б) Чтобы представить квадратный трехчлен $-3y^2 + 10y - 3$ в виде произведения, нужно разложить его на множители. Для этого воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала решим уравнение $-3y^2 + 10y - 3 = 0$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-3) = 100 - 36 = 64$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-10 + 8}{-6} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-10 - \sqrt{64}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-10 - 8}{-6} = \frac{-18}{-6} = \textbf{3}$

Подставим найденные корни $y_1 = \frac{1}{3}$ и $y_2 = 3$ в формулу разложения, учитывая, что коэффициент $a = -3$:

$-3y^2 + 10y - 3 = -3(y - \frac{1}{3})(y - 3)$

Для того чтобы избавиться от дроби, умножим множитель $-3$ на двучлен $(y - \frac{1}{3})$:

$-3 \cdot (y - \frac{1}{3}) = -3y + (-3)(-\frac{1}{3}) = -3y + 1 = 1 - 3y$

В результате получаем итоговое разложение на множители:

$(1 - 3y)(y - 3)$

Ответ: $(1 - 3y)(y - 3)$