Номер 4.108, страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.108. Пользуясь свойствами функции $y = \sqrt{x}$, сравните числа:

а) $\sqrt{11}$ и $\sqrt{13}$;

б) $\sqrt{37}$ и 6;

в) $2\sqrt{6}$ и $4\sqrt{7}$.

Для сравнения чисел мы воспользуемся свойством функции $y=\sqrt{x}$. Эта функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения (при $x \ge 0$). Это означает, что чем больше значение аргумента $x$, тем больше значение функции $y$. Следовательно, для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$.

а) Сравним числа $\sqrt{11}$ и $\sqrt{13}$.
Здесь мы сравниваем значения функции $y=\sqrt{x}$ для аргументов $x_1 = 11$ и $x_2 = 13$.
Так как $11 < 13$, и функция $y=\sqrt{x}$ возрастающая, то значение функции для большего аргумента будет больше.
Следовательно, $\sqrt{11} < \sqrt{13}$.
Ответ: $\sqrt{11} < \sqrt{13}$.

б) Сравним числа $\sqrt{37}$ и $6$.
Чтобы использовать свойство функции, представим число $6$ в виде квадратного корня:
$6 = \sqrt{6^2} = \sqrt{36}$.
Теперь задача сводится к сравнению чисел $\sqrt{37}$ и $\sqrt{36}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $37$ и $36$.
Так как $37 > 36$, то, согласно свойству возрастания функции $y=\sqrt{x}$, имеем $\sqrt{37} > \sqrt{36}$.
Следовательно, $\sqrt{37} > 6$.
Ответ: $\sqrt{37} > 6$.

в) Сравним числа $2\sqrt{6}$ и $4\sqrt{7}$.
Для сравнения этих чисел внесем множители перед корнем под знак корня. Для этого возведем множитель в квадрат и умножим на подкоренное выражение.
Для первого числа: $2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}$.
Для второго числа: $4\sqrt{7} = \sqrt{4^2 \cdot 7} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{112}$.
Теперь задача сводится к сравнению чисел $\sqrt{24}$ и $\sqrt{112}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $24$ и $112$.
Так как $24 < 112$, то $\sqrt{24} < \sqrt{112}$.
Следовательно, $2\sqrt{6} < 4\sqrt{7}$.
Ответ: $2\sqrt{6} < 4\sqrt{7}$.