Номер 4.111, страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.111. Определите, пересекается ли график функции $y = \sqrt{x}$ с прямой:

а) $y = 1$;

б) $y = \frac{1}{3}$;

в) $y = -7$;

г) $y = \sqrt{13}$.

Если да, то найдите координаты точки пересечения.

Чтобы определить, пересекаются ли график функции $y = \sqrt{x}$ и заданная прямая вида $y = c$, необходимо решить систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = c \end{cases} $$ Это эквивалентно решению уравнения $\sqrt{x} = c$.

Важно помнить, что область значений функции $y = \sqrt{x}$ — это все неотрицательные числа, то есть $y \ge 0$. Следовательно, график этой функции может пересекаться только с прямыми $y = c$, для которых $c \ge 0$.

а) Проверим пересечение с прямой $y = 1$.
Поскольку $1 \ge 0$, пересечение существует. Чтобы найти координаты точки пересечения, решим уравнение: $$ \sqrt{x} = 1 $$ Возводим обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{x})^2 = 1^2 $$ $$ x = 1 $$ Таким образом, координаты точки пересечения — $(1; 1)$.
Ответ: Да, пересекается в точке $(1; 1)$.

б) Проверим пересечение с прямой $y = \frac{1}{3}$.
Поскольку $\frac{1}{3} \ge 0$, пересечение существует. Чтобы найти координаты точки пересечения, решим уравнение: $$ \sqrt{x} = \frac{1}{3} $$ Возводим обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{x})^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 $$ $$ x = \frac{1}{9} $$ Таким образом, координаты точки пересечения — $(\frac{1}{9}; \frac{1}{3})$.
Ответ: Да, пересекается в точке $(\frac{1}{9}; \frac{1}{3})$.

в) Проверим пересечение с прямой $y = -7$.
Поскольку значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным ($y=\sqrt{x} \ge 0$), а прямая задана значением $y = -7$, которое является отрицательным, у графиков нет общих точек.
Уравнение $\sqrt{x} = -7$ не имеет действительных решений.
Ответ: Нет, не пересекается.

г) Проверим пересечение с прямой $y = \sqrt{13}$.
Поскольку $\sqrt{13} \ge 0$, пересечение существует. Чтобы найти координаты точки пересечения, решим уравнение: $$ \sqrt{x} = \sqrt{13} $$ Возводим обе части уравнения в квадрат: $$ (\sqrt{x})^2 = (\sqrt{13})^2 $$ $$ x = 13 $$ Таким образом, координаты точки пересечения — $(13; \sqrt{13})$.
Ответ: Да, пересекается в точке $(13; \sqrt{13})$.