Номер 4.114, страница 242 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.114. Решите систему неравенств $\begin{cases} x^2 - 6x - 7 \ge 0, \\ 2 - 3x > 0. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

Решим первое неравенство: $x^2 - 6x - 7 \ge 0$.

Это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$.

Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7$

Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Неравенство $y \ge 0$ выполняется на тех промежутках, где график функции находится на оси Ox или выше нее.

Это происходит при $x \le -1$ и при $x \ge 7$.

Таким образом, решением первого неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -1] \cup [7, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $2 - 3x > 0$.

Это линейное неравенство. Перенесем 2 в правую часть:

$-3x > -2$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{-2}{-3}$

$x < \frac{2}{3}$

Решением второго неравенства является промежуток: $x \in (-\infty, \frac{2}{3})$.

Найдем решение системы неравенств.

Для этого найдем пересечение полученных решений:

Решение 1: $x \in (-\infty, -1] \cup [7, +\infty)$

Решение 2: $x \in (-\infty, \frac{2}{3})$

Искомое решение системы — это множество всех $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. На числовой прямой это будет пересечение двух множеств. Поскольку $\frac{2}{3} < 7$, пересечение будет только с левой частью первого решения $(-\infty, -1]$.

Пересечением $(-\infty, -1] \cup [7, +\infty)$ и $(-\infty, \frac{2}{3})$ является промежуток $(-\infty, -1]$.

Ответ: $(-\infty, -1]$.