Номер 4.112, страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.112. В одной системе координат постройте графики функций $y=\sqrt{x}$ и $y=x-6$, найдите координаты их общей точки.

Для решения задачи необходимо построить графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x - 6$ в одной координатной плоскости, а затем найти их точку пересечения. Это можно сделать как графически, так и аналитически.

1. Построение графика функции $y = \sqrt{x}$

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения функции: $x \ge 0$.

Составим таблицу ключевых точек для построения графика:

2. Построение графика функции $y = x - 6$

График функции $y = x - 6$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек. Удобно взять точки пересечения с осями координат.

• При $x=0$, $y = 0 - 6 = -6$. Точка пересечения с осью OY: $(0; -6)$.
• При $y=0$, $0 = x - 6$, откуда $x=6$. Точка пересечения с осью OX: $(6; 0)$.

Возьмем еще одну точку для точности, например $x=9$: $y = 9 - 6 = 3$. Точка $(9; 3)$.

3. Нахождение координат общей точки (аналитический способ)

Общая точка — это точка, в которой координаты $(x, y)$ удовлетворяют обоим уравнениям. Чтобы найти ее, приравняем правые части уравнений функций:

$\sqrt{x} = x - 6$

Для решения этого иррационального уравнения необходимо учесть, что арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным, поэтому должно выполняться условие $x - 6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$. Это область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{x})^2 = (x - 6)^2$

$x = x^2 - 12x + 36$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 13x + 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Корнями являются числа 4 и 9.

$x_1 = 4$, $x_2 = 9$

Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 6$):

• $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $x \ge 6$. Этот корень является посторонним, он появился в результате возведения в квадрат.
• $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $x \ge 6$. Это и есть абсцисса точки пересечения.

Найдем ординату точки пересечения, подставив значение $x = 9$ в любое из исходных уравнений:

$y = \sqrt{9} = 3$

Проверка по второму уравнению: $y = 9 - 6 = 3$.

Таким образом, графики пересекаются в одной точке.

Координаты их общей точки: Ответ: $(9; 3)$.