Номер 4.116, страница 242 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.116. Выполните действия и запишите результат в стан-

дартном виде:

а) $13\ 000^2$;

б) $0.004^3$;

в) $5000^{-4}$.

а) Чтобы выполнить действие $13\ 000^2$ и записать результат в стандартном виде, сначала представим число $13\ 000$ в стандартном виде. Стандартный вид числа имеет форму $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.
$13\ 000 = 1,3 \times 10^4$.
Теперь возведем это выражение в квадрат, используя свойства степеней $(x \cdot y)^k = x^k \cdot y^k$ и $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$:
$(1,3 \times 10^4)^2 = (1,3)^2 \times (10^4)^2 = 1,69 \times 10^{4 \cdot 2} = 1,69 \times 10^8$.
Полученное число $1,69 \times 10^8$ записано в стандартном виде, так как мантисса $1,69$ удовлетворяет условию $1 \le 1,69 < 10$.
Ответ: $1,69 \times 10^8$

б) Чтобы выполнить действие $0,004^3$, представим число $0,004$ в стандартном виде:
$0,004 = 4 \times 10^{-3}$.
Теперь возведем это выражение в куб:
$(4 \times 10^{-3})^3 = 4^3 \times (10^{-3})^3 = 64 \times 10^{-3 \cdot 3} = 64 \times 10^{-9}$.
Полученный результат $64 \times 10^{-9}$ не находится в стандартном виде, так как $64 \ge 10$. Необходимо привести его к стандартному виду, представив $64$ как $6,4 \times 10^1$:
$64 \times 10^{-9} = (6,4 \times 10^1) \times 10^{-9} = 6,4 \times 10^{1 + (-9)} = 6,4 \times 10^{-8}$.
Ответ: $6,4 \times 10^{-8}$

в) Чтобы выполнить действие $5000^{-4}$, представим число $5000$ в стандартном виде:
$5000 = 5 \times 10^3$.
Возведем в степень -4:
$(5 \times 10^3)^{-4} = 5^{-4} \times (10^3)^{-4} = \frac{1}{5^4} \times 10^{3 \cdot (-4)} = \frac{1}{625} \times 10^{-12}$.
Преобразуем дробь $\frac{1}{625}$ в десятичную: $1 \div 625 = 0,0016$.
Подставим это значение в выражение: $0,0016 \times 10^{-12}$.
Это выражение не в стандартном виде, так как $0,0016 < 1$. Приведем его к стандартному виду, представив $0,0016$ как $1,6 \times 10^{-3}$:
$(1,6 \times 10^{-3}) \times 10^{-12} = 1,6 \times 10^{-3 + (-12)} = 1,6 \times 10^{-15}$.
Ответ: $1,6 \times 10^{-15}$