Номер 5, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

5. В одной системе координат постройте графики функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = \sqrt{x}$, найдите координаты их общей точки.

Имеют ли общие точки графики функций:

a) $y = \frac{8}{x}$ и $y = -\frac{5}{x}$;

б) $y = \frac{8}{x}$ и $y = -2x$?

Можно ли ответить на этот вопрос, не выполняя построения графиков?

Для нахождения координат общей точки графиков функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = \sqrt{x}$, необходимо решить систему уравнений. Для этого приравняем их правые части:

$\frac{8}{x} = \sqrt{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x > 0$, так как подкоренное выражение ($x$) должно быть неотрицательным, а знаменатель ($x$) не должен быть равен нулю.

Для решения возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\frac{8}{x})^2 = (\sqrt{x})^2$

$\frac{64}{x^2} = x$

Умножим обе части на $x^2$ (что допустимо, так как $x \neq 0$):

$64 = x^3$

Отсюда находим $x$ как кубический корень из 64:

$x = \sqrt[3]{64} = 4$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=4$ в любое из исходных уравнений, например, в $y = \sqrt{x}$:

$y = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, координаты их общей точки: $(4, 2)$.

Для построения графиков в одной системе координат составим таблицы значений для каждой функции. График функции $y = \frac{8}{x}$ является гиперболой с ветвями в I и III координатных четвертях. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в I координатной четверти.

Таблица для $y = \frac{8}{x}$ (ветвь в I четверти):

Таблица для $y = \sqrt{x}$:

Построив графики по этим точкам, мы увидим, что они пересекаются в одной точке, координаты которой мы нашли аналитически.

а) $y = \frac{8}{x}$ и $y = -\frac{5}{x}$
Чтобы определить, имеют ли графики общие точки, приравняем их правые части: $\frac{8}{x} = -\frac{5}{x}$.
Поскольку по определению функций $x \neq 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x$ и получить $8 = -5$.
Это равенство является ложным. Следовательно, уравнение не имеет решений, и графики данных функций не пересекаются.
Ответ: нет.

б) $y = \frac{8}{x}$ и $y = -2x$
Приравняем правые части функций: $\frac{8}{x} = -2x$.
При $x \neq 0$ умножим обе части на $x$: $8 = -2x^2$.
Разделим обе части на -2: $x^2 = -4$.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, у графиков функций нет общих точек.
Ответ: нет.

Можно ли ответить на этот вопрос, не выполняя построения графиков?
Да, можно. Вопрос о наличии общих точек у графиков двух функций равносилен вопросу о наличии действительных решений у уравнения, полученного приравниванием выражений для $y$. Как показано в пунктах а) и б), мы можем проанализировать эти уравнения чисто алгебраически. Если уравнение не имеет действительных решений, то и общих точек у графиков нет. Таким образом, построение графиков не является обязательным для ответа на данный вопрос.
Ответ: да.