Номер 1, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Река огибает садовое товарищество так, как показано на рисунке 107. Дачникам предлагается устроить зону отдыха на одном из трех участков. При выборе из предлагаемых вариантов участка максимальной площади мнения разделились. Какое решение предлагаете вы?

Для того чтобы определить, какой из трех участков имеет максимальную площадь, необходимо вычислить и сравнить площади каждого из них. Будем исходить из того, что, как это обычно бывает в подобных задачах, длина береговой линии (изгиба реки) одинакова для всех трех вариантов.

Обозначим длину прямолинейной границы садового товарищества, общей для всех участков, как $L$.

Этот участок представляет собой полукруг, диаметр которого равен прямолинейной границе $L$.

• Радиус полукруга: $r_1 = \frac{L}{2}$
• Длина береговой линии (дуги полукруга): $C_1 = \frac{1}{2} \cdot (2\pi r_1) = \pi r_1 = \frac{\pi L}{2}$
• Площадь участка: $S_1 = \frac{1}{2} \pi r_1^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{8}$

Ответ: Площадь первого участка равна $S_1 = \frac{\pi L^2}{8}$.

Этот участок состоит из двух одинаковых полукругов, которые вместе опираются на границу длиной $L$. Значит, диаметр каждого малого полукруга равен $\frac{L}{2}$.

• Радиус каждого малого полукруга: $r_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{2} = \frac{L}{4}$
• Общая длина береговой линии (сумма длин двух дуг): $C_2 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2\pi r_2\right) = 2\pi r_2 = 2\pi \frac{L}{4} = \frac{\pi L}{2}$
• Общая площадь (сумма площадей двух полукругов): $S_2 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \pi r_2^2\right) = \pi \left(\frac{L}{4}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{16}$

Ответ: Площадь второго участка равна $S_2 = \frac{\pi L^2}{16}$.

Третий участок ограничен параболической дугой с основанием $L$. Длина этой дуги (береговой линии) по условию равна длине дуг в предыдущих вариантах, то есть $C_3 = \frac{\pi L}{2}$.

Для сравнения площади этого участка с остальными воспользуемся решением классической изопериметрической задачи (задачи Дидоны). Она утверждает, что среди всех кривых заданной длины, соединяющих две точки на прямой, наибольшую площадь с этой прямой ограничивает дуга окружности.

Поскольку длина параболической дуги равна длине дуги полукруга из первого варианта, а их основания совпадают (равны $L$), площадь участка, ограниченного полукругом, будет гарантированно больше площади участка, ограниченного параболой.

Следовательно, $S_3 < S_1$.

Ответ: Площадь третьего участка $S_3$ меньше площади первого участка $S_1$.

Итоговое решение

Сравним полученные значения площадей:

• Площадь участка 1 (полукруг): $S_1 = \frac{\pi L^2}{8}$
• Площадь участка 2 (два полукруга): $S_2 = \frac{\pi L^2}{16}$
• Площадь участка 3 (парабола): $S_3 < \frac{\pi L^2}{8}$

Из сравнения видно, что $S_1 = 2 \cdot S_2$, и $S_1 > S_3$. Таким образом, максимальной является площадь первого участка.

Предлагаемое решение: Для организации зоны отдыха следует выбрать первый участок, имеющий форму полукруга, так как его площадь максимальна.