Номер 9, страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

9. Сравните $f\left(\frac{36}{8-2\sqrt{7}}\right)$ и $f(8-2\sqrt{7})$, если $f(x) = \sqrt{x}$.

Для сравнения двух значений функции $f(x) = \sqrt{x}$ необходимо сначала упростить аргументы, а затем и сами значения функции. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей, поэтому большему значению аргумента будет соответствовать большее значение функции.

$f\left(\frac{36}{8-2\sqrt{7}}\right)$

1. Упростим аргумент функции $x_1 = \frac{36}{8-2\sqrt{7}}$. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $8+2\sqrt{7}$:

$x_1 = \frac{36 \cdot (8+2\sqrt{7})}{(8-2\sqrt{7})(8+2\sqrt{7})}$

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для знаменателя:

$(8-2\sqrt{7})(8+2\sqrt{7}) = 8^2 - (2\sqrt{7})^2 = 64 - 4 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$

Подставим результат в выражение для $x_1$:

$x_1 = \frac{36 \cdot (8+2\sqrt{7})}{36} = 8+2\sqrt{7}$

2. Теперь найдем значение функции $f(x_1) = \sqrt{8+2\sqrt{7}}$. Для упрощения этого сложного корня воспользуемся формулой $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Представим подкоренное выражение $8+2\sqrt{7}$ в нужном виде. Нам нужно найти такие числа $a$ и $b$, что $a+b=8$ и $ab=7$. Методом подбора легко находим, что $a=7$ и $b=1$.

Следовательно, $8+2\sqrt{7} = 7+1+2\sqrt{7 \cdot 1} = (\sqrt{7}+\sqrt{1})^2 = (\sqrt{7}+1)^2$.

Тогда значение функции равно:

$f\left(\frac{36}{8-2\sqrt{7}}\right) = \sqrt{(\sqrt{7}+1)^2} = |\sqrt{7}+1| = \sqrt{7}+1$

Ответ: $\sqrt{7}+1$.

$f(8-2\sqrt{7})$

1. Аргумент функции $x_2 = 8-2\sqrt{7}$ уже в упрощенном виде. Найдем значение функции $f(x_2) = \sqrt{8-2\sqrt{7}}$.

2. Воспользуемся аналогичной формулой для разности: $\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = |\sqrt{a}-\sqrt{b}|$.

Как и в предыдущем пункте, $a=7$ и $b=1$.

$8-2\sqrt{7} = 7+1-2\sqrt{7 \cdot 1} = (\sqrt{7}-\sqrt{1})^2 = (\sqrt{7}-1)^2$.

Тогда значение функции равно:

$f(8-2\sqrt{7}) = \sqrt{(\sqrt{7}-1)^2} = |\sqrt{7}-1|$

Поскольку $\sqrt{7} > \sqrt{1}$, то разность $\sqrt{7}-1$ положительна, и модуль можно опустить: $|\sqrt{7}-1| = \sqrt{7}-1$.

Ответ: $\sqrt{7}-1$.

Сравнение полученных результатов

Теперь необходимо сравнить два полученных числа: $\sqrt{7}+1$ и $\sqrt{7}-1$.

Так как $1 > -1$, очевидно, что $\sqrt{7}+1 > \sqrt{7}-1$.

Из этого следует, что $f\left(\frac{36}{8-2\sqrt{7}}\right) > f(8-2\sqrt{7})$.