Номер 4.102, страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.102. Сравните значения функции $y=\sqrt{x}$ при $x=\left(\frac{5}{\sqrt{6}+1}\right)^2$ и $x=7-2\sqrt{6}$.

Чтобы сравнить значения функции $y = \sqrt{x}$ при заданных значениях аргумента, необходимо найти значение функции $y$ для каждого из этих значений $x$ и затем сравнить их.

1. Найдем значение функции при $x = \left(\frac{5}{\sqrt{6}+1}\right)^2$

Сначала упростим выражение для $x$. Возведем числитель и знаменатель в квадрат:

$x = \frac{5^2}{(\sqrt{6}+1)^2} = \frac{25}{(\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 1 + 1^2} = \frac{25}{6 + 2\sqrt{6} + 1} = \frac{25}{7 + 2\sqrt{6}}$

Далее, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(7 - 2\sqrt{6})$:

$x = \frac{25(7 - 2\sqrt{6})}{(7 + 2\sqrt{6})(7 - 2\sqrt{6})} = \frac{25(7 - 2\sqrt{6})}{7^2 - (2\sqrt{6})^2} = \frac{25(7 - 2\sqrt{6})}{49 - 4 \cdot 6} = \frac{25(7 - 2\sqrt{6})}{49 - 24} = \frac{25(7 - 2\sqrt{6})}{25} = 7 - 2\sqrt{6}$

Теперь, когда мы упростили $x$, найдем значение функции $y = \sqrt{x}$:

$y = \sqrt{7 - 2\sqrt{6}}$

Для извлечения корня представим подкоренное выражение в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Заметим, что $7 - 2\sqrt{6} = 6 + 1 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{6}-1)^2$.

Тогда:

$y = \sqrt{(\sqrt{6}-1)^2} = |\sqrt{6}-1|$

Поскольку $\sqrt{6} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{6} > 1$, разность $\sqrt{6}-1$ положительна. Следовательно, модуль можно убрать. Значение функции для данного $x$: $y = \sqrt{6}-1$.

2. Найдем значение функции при $x = 7 - 2\sqrt{6}$

Найдем значение функции $y = \sqrt{x}$ для этого значения $x$:

$y = \sqrt{7 - 2\sqrt{6}}$

Как мы уже показали в предыдущем пункте, подкоренное выражение можно представить в виде полного квадрата:

$7 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{6}-1)^2$

Тогда значение функции будет:

$y = \sqrt{(\sqrt{6}-1)^2} = |\sqrt{6}-1| = \sqrt{6}-1$

3. Сравнение и вывод

Значение функции в первом случае равно $\sqrt{6}-1$.
Значение функции во втором случае также равно $\sqrt{6}-1$.

Поскольку полученные значения одинаковы, мы можем сделать вывод, что значения функции равны.

Ответ: значения функции равны.