Номер 4.100, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.100. В одной системе координат постройте графики функций $y = \sqrt{x}$, $y = x^2$ и $y = x$. Найдите координаты общих точек построенных графиков. Сравните свойства функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2$.

Постройте в одной системе координат графики функций $y=\sqrt{x}$, $y=x^2$ и $y=x$.

Для построения графиков определим их вид и найдем несколько ключевых точек для каждого.

• График функции $y=x^2$ — это парабола. Вершина находится в точке (0, 0), ветви направлены вверх. График симметричен относительно оси Oy.
  Некоторые точки: (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4).
• График функции $y=\sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x=y^2$. График расположен в первой координатной четверти. Область определения функции: $x \ge 0$.
  Некоторые точки: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).
• График функции $y=x$ — это прямая, которая является биссектрисой I и III координатных углов.
  Некоторые точки: (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2).

При построении этих трех графиков в одной системе координат можно увидеть, что они пересекаются в двух точках.

Найдите координаты общих точек построенных графиков.

Для нахождения координат общих (точек пересечения) для всех трех графиков, достаточно найти точки пересечения любых двух из них, а затем проверить, принадлежат ли эти точки третьему графику. Найдем точки пересечения графиков $y=x^2$ и $y=x$.

$x^2 = x$
$x^2 - x = 0$
$x(x-1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы $x$: $x_1=0$ и $x_2=1$.

Найдем соответствующие ординаты $y$:

• При $x_1=0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Получаем точку (0, 0).
• При $x_2=1$, $y_2 = 1^2 = 1$. Получаем точку (1, 1).

Теперь выполним проверку для функции $y=\sqrt{x}$:

• Для точки (0, 0): $0 = \sqrt{0}$ (верно).
• Для точки (1, 1): $1 = \sqrt{1}$ (верно).

Следовательно, обе точки являются общими для всех трех графиков.

Ответ: (0, 0) и (1, 1).

Сравните свойства функций $y=\sqrt{x}$ и $y=x^2$.

Сравним ключевые свойства данных функций.

Ответ: Функции имеют одинаковую область значений $[0; +\infty)$. Основные различия: 1) Область определения: для $y=x^2$ это все числа, а для $y=\sqrt{x}$ — только неотрицательные. 2) Четность: $y=x^2$ — четная функция, а $y=\sqrt{x}$ — нет. 3) Монотонность: $y=x^2$ имеет промежуток убывания и возрастания, а $y=\sqrt{x}$ только возрастает. На множестве $x \ge 0$ функции являются взаимно обратными.