Номер 4.98, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.98. Выберите прямые, которые пересекает график функции $y=\sqrt{x}$:

а) $y=3x$;

б) $y=-x+2$;

в) $y=2x+5$;

г) $y=-4x-3$.

а) $y = 3x$;
Чтобы найти точки пересечения, необходимо решить систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 3x \end{cases} $$ Приравнивая выражения для $y$, получаем уравнение: $$ \sqrt{x} = 3x $$ Так как корень в левой части должен быть неотрицательным, то и правая часть должна быть неотрицательной: $3x \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Это условие совпадает с областью определения функции $y = \sqrt{x}$. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: $$ (\sqrt{x})^2 = (3x)^2 $$ $$ x = 9x^2 $$ Перенесем все члены в одну сторону: $$ 9x^2 - x = 0 $$ Вынесем $x$ за скобки: $$ x(9x - 1) = 0 $$ Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 0$ и $9x - 1 = 0 \implies x_2 = \frac{1}{9}$. Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$, следовательно, прямая и график функции имеют две точки пересечения.
Ответ: прямая пересекает график функции.

б) $y = -x + 2$;
Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -x + 2 \end{cases} $$ Приравниваем правые части: $$ \sqrt{x} = -x + 2 $$ Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия: $x \ge 0$ (из-за корня) и $-x + 2 \ge 0$ (так как корень не может быть отрицательным), откуда $x \le 2$. Таким образом, искомое решение должно лежать в промежутке $0 \le x \le 2$. Возводим обе части в квадрат: $$ x = (-x + 2)^2 $$ $$ x = x^2 - 4x + 4 $$ $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Теперь проверим, удовлетворяют ли корни условию $0 \le x \le 2$:

• $x_1 = 1$ удовлетворяет условию.
• $x_2 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 2$. Это посторонний корень.

Поскольку существует одно решение $x=1$, прямая пересекает график функции.
Ответ: прямая пересекает график функции.

в) $y = 2x + 5$;
Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = 2x + 5 \end{cases} $$ Приравниваем правые части: $$ \sqrt{x} = 2x + 5 $$ Для $x \ge 0$, левая часть $\sqrt{x} \ge 0$ и правая часть $2x+5 > 0$. Условия для возведения в квадрат выполнены. $$ x = (2x + 5)^2 $$ $$ x = 4x^2 + 20x + 25 $$ $$ 4x^2 + 19x + 25 = 0 $$ Найдем дискриминант этого квадратного уравнения $\Delta = b^2 - 4ac$: $$ \Delta = 19^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 361 - 400 = -39 $$ Так как дискриминант отрицательный ($\Delta < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, прямая не пересекает график функции.
Ответ: прямая не пересекает график функции.

г) $y = -4x - 3$;
Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = -4x - 3 \end{cases} $$ Приравниваем правые части: $$ \sqrt{x} = -4x - 3 $$ Проанализируем знаки левой и правой частей уравнения. Функция $y = \sqrt{x}$ определена при $x \ge 0$, и ее значения всегда неотрицательны ($y \ge 0$). Рассмотрим значения функции $y = -4x - 3$ при $x \ge 0$. Если $x=0$, $y=-3$. Если $x>0$, то $-4x$ будет отрицательным, и $y = -4x - 3$ будет меньше, чем -3. Таким образом, для любого $x \ge 0$, левая часть уравнения ($\sqrt{x}$) неотрицательна, а правая ($-4x - 3$) — строго отрицательна. Равенство между ними невозможно. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: прямая не пересекает график функции.