Номер 4.99, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

Для нахождения координат общих точек данных функций необходимо решить систему уравнений. Графически это будет соответствовать точке пересечения графиков.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти, так как область определения $x \ge 0$ и, соответственно, область значений $y \ge 0$.

График функции $y = \frac{8}{x}$ — это гипербола. Поскольку для первой функции $x \ge 0$, нас интересует только та часть графика гиперболы, где $x > 0$ (ветвь в первой координатной четверти).

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения — $x > 0$. Умножим обе части уравнения на $x$:

Представим левую часть как степень с рациональным показателем, используя свойство $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$:

Получим уравнение:

Чтобы найти $x$, возведем обе части в степень $2/3$:

Найденное значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ.

Теперь найдем ординату ($y$), подставив значение $x=4$ в любое из исходных уравнений. Возьмем $y = \sqrt{x}$:

Таким образом, координаты общей точки (4, 2).

Ответ: (4, 2).

Аналогично предыдущему пункту, найдем точку пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы) и $y = x - 2$ (прямая линия).

Приравняем правые части уравнений:

Поскольку левая часть уравнения, $\sqrt{x}$, по определению не может быть отрицательной, то и правая часть также должна быть неотрицательной. Это дает нам ограничение для возможных решений:

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -(-5) = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Корни легко подбираются: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие нашему ограничению $x \ge 2$:

• Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 2$, следовательно, это посторонний корень, появившийся в результате возведения в квадрат.
• Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 2$, значит, это искомое решение.

Найдем ординату ($y$) точки пересечения, подставив $x=4$ в уравнение прямой $y = x - 2$:

Следовательно, координаты общей точки (4, 2).

Ответ: (4, 2).