Номер 4.94, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.94. Найдите какое-нибудь рациональное число, заключенное между числами $\sqrt{5}$ и $\sqrt{6}$.

Задача состоит в том, чтобы найти рациональное число $x$, которое удовлетворяет двойному неравенству $\sqrt{5} < x < \sqrt{6}$. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, а $q \neq 0$.

Поскольку все числа в неравенстве положительны, мы можем возвести его в квадрат, сохранив знаки неравенства: $$(\sqrt{5})^2 < x^2 < (\sqrt{6})^2$$ $$5 < x^2 < 6$$ Теперь нам нужно найти любое рациональное число $x$, квадрат которого находится строго между 5 и 6.

Рассмотрим два способа.

Способ 1: Использование десятичных дробей.
Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$, значит $\sqrt{5}$ и $\sqrt{6}$ находятся между 2 и 3. Попробуем возвести в квадрат десятичные дроби из этого интервала:

• $(2,3)^2 = 5,29$. Так как $5 < 5,29 < 6$, то число $2,3$ является решением. $2,3 = \frac{23}{10}$ — это рациональное число.
• $(2,4)^2 = 5,76$. Так как $5 < 5,76 < 6$, то число $2,4$ также является решением. $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$ — это рациональное число.

Способ 2: Использование обыкновенных дробей.
Будем искать число $x$ в виде дроби $\frac{p}{q}$. Тогда неравенство $5 < x^2 < 6$ примет вид: $$5 < \left(\frac{p}{q}\right)^2 < 6$$ Домножим на $q^2$: $$5q^2 < p^2 < 6q^2$$ Подберем подходящий знаменатель $q$. Пусть $q=3$. Тогда: $$5 \cdot 3^2 < p^2 < 6 \cdot 3^2$$ $$45 < p^2 < 54$$ Единственный полный квадрат в этом интервале — это $49$, который является квадратом числа $7$ ($7^2=49$). Следовательно, мы можем взять $p=7$. Получаем рациональное число $x = \frac{7}{3}$.

В качестве ответа можно предоставить любое из найденных чисел, например, $\frac{7}{3}$. Это неправильная дробь, поэтому выделим из нее целую часть: $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.