устные вопросы и задания в § 20, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Выберите функции, областью определения которых являются все действительные числа:

а) $y = \sqrt{x}$; б) $y = x^3$; в) $y = \frac{k}{x}$; г) $y = |x|$.

2. Определите функции, которые при всех значениях $x$ из области определения принимают неотрицательные значения:

а) $y = \sqrt{x}$; б) $y = x^3$; в) $y = \frac{k}{x}$; г) $y = |x|$.

Область определения функции – это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл (т.е. можно вычислить значение $y$). Нам нужно найти функции, для которых $x$ может быть любым действительным числом.

• а) $y = \sqrt{x}$
  Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, область определения этой функции задается условием $x \ge 0$. Это не все действительные числа.
• б) $y = x^3$
  Это степенная функция с натуральным показателем (кубическая функция). Она определена для любого действительного значения $x$. Область определения – все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Эта функция подходит.
• в) $y = \frac{k}{x}$
  Это функция обратной пропорциональности. Деление на ноль не определено, поэтому знаменатель не может быть равен нулю: $x \neq 0$. Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Это не все действительные числа.
• г) $y = |x|$
  Функция модуля (абсолютной величины) определена для любого действительного числа $x$. Область определения – все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Эта функция подходит.

Ответ: б), г).

Необходимо найти функции, область значений которых (множество всех возможных значений $y$) состоит только из неотрицательных чисел, то есть $y \ge 0$ для всех $x$ из области определения функции.

• а) $y = \sqrt{x}$
  Область определения этой функции – $x \ge 0$. По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом. Следовательно, $y \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Эта функция подходит.
• б) $y = x^3$
  Область определения – все действительные числа. Эта функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$, что является отрицательным числом. Эта функция не подходит.
• в) $y = \frac{k}{x}$
  Область определения: $x \neq 0$. Если предположить, что $k \neq 0$, то знак $y$ зависит от знаков $k$ и $x$. Например, если $k > 0$ и $x < 0$, то $y$ будет отрицательным. Если $k < 0$ и $x > 0$, $y$ также будет отрицательным. Таким образом, эта функция принимает и отрицательные значения. Эта функция не подходит.
• г) $y = |x|$
  Область определения – все действительные числа. Модуль любого действительного числа по определению является неотрицательным числом ($|x| \ge 0$). Следовательно, все значения функции неотрицательны. Эта функция подходит.

Ответ: а), г).