Номер 4.101, страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.101. Среди функций $y = \sqrt{x}$; $y = |x|$; $y = x^3$ и $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$, выберите функции:

а) нулем которых является $x = 0$;

б) возрастающие при $x \in (0; +\infty)$;

в) значения которых отрицательны при $x < 0$.

Проанализируем каждую из предложенных функций $y = \sqrt{x}$, $y = |x|$, $y = x^3$ и $y = \frac{k}{x}$ ($k \neq 0$) на соответствие заданным условиям.

а) нулем которых является $x = 0$:

Нуль функции – это значение аргумента $x$, при котором значение функции $y$ равно нулю. Проверим каждую функцию, подставив $x=0$.

• Для функции $y = \sqrt{x}$: при $x=0$, $y = \sqrt{0} = 0$. Следовательно, $x=0$ является нулем этой функции.
• Для функции $y = |x|$: при $x=0$, $y = |0| = 0$. Следовательно, $x=0$ является нулем этой функции.
• Для функции $y = x^3$: при $x=0$, $y = 0^3 = 0$. Следовательно, $x=0$ является нулем этой функции.
• Для функции $y = \frac{k}{x}$: эта функция не определена в точке $x=0$ (деление на ноль). Таким образом, $x=0$ не может быть ее нулем.

Ответ: $y = \sqrt{x}$, $y = |x|$, $y = x^3$.

б) возрастающие при $x \in (0; +\infty)$:

Функция называется возрастающей на интервале, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Рассмотрим поведение функций на интервале $(0; +\infty)$.

• Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей на всей своей области определения $[0; +\infty)$, а значит, и на интервале $(0; +\infty)$.
• Функция $y = |x|$ при $x > 0$ совпадает с функцией $y = x$. Эта функция является возрастающей на $(0; +\infty)$.
• Функция $y = x^3$ является возрастающей на всей числовой прямой, включая интервал $(0; +\infty)$.
• Для функции $y = \frac{k}{x}$:
  • Если $k > 0$, то при увеличении положительного $x$ значение дроби $\frac{k}{x}$ уменьшается. Функция убывает.
  • Если $k < 0$, то при увеличении положительного $x$ знаменатель растет, а так как числитель $k$ отрицателен, значение дроби $\frac{k}{x}$ увеличивается (например, от $-2$ до $-1$). Функция возрастает.
  Следовательно, данная функция возрастает на $(0; +\infty)$ только при $k < 0$. Однако, в традиционном анализе, функция возрастает, если ее производная положительна. $y' = -k/x^2$. Для $y'>0$, нужно $-k>0$, то есть $k<0$. Мое рассуждение выше было неверным. Давайте еще раз. Пусть $k < 0$. Возьмем $k=-1$. $y = -1/x$. Пусть $x_1=1, x_2=2$. $y_1=-1, y_2=-1/2$. $y_2 > y_1$. Да, функция возрастает при $k<0$. Давайте перепроверим $k>0$. Пусть $k=1$. $y=1/x$. Пусть $x_1=1, x_2=2$. $y_1=1, y_2=1/2$. $y_2 < y_1$. Функция убывает. Значит, $y = \frac{k}{x}$ возрастает на $(0; +\infty)$ при $k < 0$.
  Коррекция: В некоторых учебных программах обратная пропорциональность $y = k/x$ при $k>0$ считается убывающей на каждом из интервалов $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$, а при $k<0$ - возрастающей. В других (более строгих) - немонотонной на всей области определения. Будем считать, что речь идет о поведении на указанном интервале. $y' = -k/x^2$. Для $x \in (0, +\infty)$, $x^2>0$. Чтобы $y'>0$ (условие возрастания), необходимо $-k>0$, что означает $k<0$. Таким образом, $y=k/x$ возрастает на $(0; +\infty)$ при $k<0$.
  Однако, стандартные школьные графики $y=x$, $y=x^3$, $y=\sqrt{x}$ все возрастают на $(0, \infty)$. График $y=k/x$ при $k>0$ убывает, а при $k<0$ возрастает. Похоже, в вопросе может быть ошибка или имелось в виду "не убывающие". Но если следовать строгому определению "возрастающие", то:

• $y = \sqrt{x}$ - возрастает.
• $y = |x|$ - возрастает.
• $y = x^3$ - возрастает.
• $y = \frac{k}{x}$ - возрастает при $k < 0$.

Обычно в школьных задачах такого типа для функции $y=k/x$ рассматривается случай $k>0$, если не указано иное. Если предположить, что имелся в виду $k>0$, то эта функция не подходит. Если же рассматривать все возможные случаи $k \ne 0$, то функция подходит при $k<0$. В ответе укажем все функции, которые могут быть возрастающими.
Примечание: Часто в задачах подразумевается "неубывающие". Все перечисленные функции, кроме $y=k/x$ при $k>0$, являются неубывающими. Будем придерживаться строгого определения "возрастающие".

Ответ: $y = \sqrt{x}$, $y = |x|$, $y = x^3$, $y = \frac{k}{x}$ при $k < 0$.

в) значения которых отрицательны при $x < 0$:

Проверим знак функции $y$ для всех $x < 0$.

• Функция $y = \sqrt{x}$ определена только для $x \ge 0$, поэтому это условие к ней неприменимо.
• Функция $y = |x|$: при $x < 0$, $|x| > 0$. Значения функции всегда неотрицательны. Не подходит.
• Функция $y = x^3$: если $x < 0$, то $x^3$ также будет отрицательным (например, $(-2)^3 = -8$). Эта функция подходит.
• Функция $y = \frac{k}{x}$: мы рассматриваем $x < 0$. Чтобы значение $y$ было отрицательным ($y < 0$), числитель $k$ и знаменатель $x$ должны иметь разные знаки. Поскольку $x < 0$, числитель $k$ должен быть положительным, т.е. $k > 0$.

Ответ: $y = x^3$, $y = \frac{k}{x}$ при $k > 0$.