Номер 4.93, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.93. Расположите в порядке возрастания числа:

a) $\sqrt{17}$; $3\sqrt{2}$; $4$;

б) $5\sqrt{2}$; $4\sqrt{3}$; $\sqrt{42}$.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо привести их к одному виду для сравнения. Удобнее всего представить все числа в виде квадратного корня, внеся множитель под знак корня. После этого можно сравнить подкоренные выражения. Для положительных чисел верно, что чем больше подкоренное выражение, тем больше и сам корень (то есть, если $a > b > 0$, то $\sqrt{a} > \sqrt{b}$).

а) Даны числа: $\sqrt{17}$; $3\sqrt{2}$; $4$.

Представим каждое число в виде квадратного корня:

• $\sqrt{17}$ — подкоренное выражение равно 17.
• $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$. Подкоренное выражение равно 18.
• $4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$. Подкоренное выражение равно 16.

Теперь сравним полученные подкоренные выражения:

$16 < 17 < 18$

Следовательно, и сами числа располагаются в том же порядке:

$\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{18}$

Подставляя исходные значения, получаем:

$4 < \sqrt{17} < 3\sqrt{2}$

Ответ: $4; \sqrt{17}; 3\sqrt{2}$.

б) Даны числа: $5\sqrt{2}$; $4\sqrt{3}$; $\sqrt{42}$.

Представим каждое число в виде квадратного корня:

• $5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$. Подкоренное выражение равно 50.
• $4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$. Подкоренное выражение равно 48.
• $\sqrt{42}$ — подкоренное выражение равно 42.

Теперь сравним полученные подкоренные выражения:

$42 < 48 < 50$

Следовательно, и сами числа располагаются в том же порядке:

$\sqrt{42} < \sqrt{48} < \sqrt{50}$

Подставляя исходные значения, получаем:

$\sqrt{42} < 4\sqrt{3} < 5\sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{42}; 4\sqrt{3}; 5\sqrt{2}$.