Номер 4.92, страница 239 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.92. Пользуясь свойствами функции $f(x) = \sqrt{x}$, сравните числа:

а) $\sqrt{37}$ и $\sqrt{35}$;

б) $\sqrt{24}$ и $5$;

в) $5\sqrt{3}$ и $4\sqrt{5}$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством функции $f(x) = \sqrt{x}$. Эта функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения, то есть для $x \ge 0$. Это означает, что если одно неотрицательное число больше другого ($x_1 > x_2$), то и квадратный корень из первого числа будет больше квадратного корня из второго ($\sqrt{x_1} > \sqrt{x_2}$).

а) $\sqrt{37}$ и $\sqrt{35}$
Сравниваем подкоренные выражения: $37$ и $35$.
Поскольку $37 > 35$, и функция $f(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей, то $\sqrt{37} > \sqrt{35}$.
Ответ: $\sqrt{37} > \sqrt{35}$.

б) $\sqrt{24}$ и 5
Чтобы использовать свойство функции, представим число $5$ в виде квадратного корня. Для этого возведем его в квадрат и поместим под знак корня: $5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.
Теперь сравним числа $\sqrt{24}$ и $\sqrt{25}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $24$ и $25$.
Поскольку $24 < 25$, то $\sqrt{24} < \sqrt{25}$.
Следовательно, $\sqrt{24} < 5$.
Ответ: $\sqrt{24} < 5$.

в) $5\sqrt{3}$ и $4\sqrt{5}$
Чтобы сравнить эти выражения, внесем множители под знак корня.
Для первого числа: $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.
Для второго числа: $4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$.
Теперь сравним числа $\sqrt{75}$ и $\sqrt{80}$.
Сравниваем подкоренные выражения: $75$ и $80$.
Поскольку $75 < 80$, то $\sqrt{75} < \sqrt{80}$.
Следовательно, $5\sqrt{3} < 4\sqrt{5}$.
Ответ: $5\sqrt{3} < 4\sqrt{5}$.