Номер 8, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) $\frac{21}{\sqrt{7}}$;

б) $\frac{8}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$;

в) $\frac{1}{2\sqrt{3}+1}$.

а) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{21}{\sqrt{7}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{7}$.
$\frac{21}{\sqrt{7}} = \frac{21 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{21\sqrt{7}}{7}$
Далее, сократим полученную дробь. Для этого разделим числовой коэффициент числителя на знаменатель: $21 \div 7 = 3$. Это действие аналогично выделению целой части из неправильной дроби $\frac{21}{7}$.
$\frac{21\sqrt{7}}{7} = 3\sqrt{7}$
Ответ: 3$\sqrt{7}$

б) В знаменателе дроби $\frac{8}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$ находится разность двух иррациональных чисел. Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $(\sqrt{6}+\sqrt{2})$. При этом в знаменателе используем формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$\frac{8}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{8 \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{6}+\sqrt{2})} = \frac{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{6-2} = \frac{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4}$
Теперь сократим дробь, разделив коэффициент 8 на 4, что дает нам целую часть 2.
$\frac{8(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{4} = 2(\sqrt{6}+\sqrt{2})$
Ответ: 2$(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

в) В этом примере знаменатель $2\sqrt{3}+1$ представляет собой сумму. Как и в предыдущем случае, воспользуемся домножением на сопряженное выражение, которым является $(2\sqrt{3}-1)$, и применим формулу разности квадратов.
$\frac{1}{2\sqrt{3}+1} = \frac{1 \cdot (2\sqrt{3}-1)}{(2\sqrt{3}+1) \cdot (2\sqrt{3}-1)} = \frac{2\sqrt{3}-1}{(2\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2\sqrt{3}-1}{4 \cdot 3 - 1} = \frac{2\sqrt{3}-1}{12-1} = \frac{2\sqrt{3}-1}{11}$
В результате мы получили дробь, в знаменателе которой находится рациональное число. Эту дробь нельзя сократить. Так как числитель $2\sqrt{3}-1 \approx 2.464$ меньше знаменателя 11, дробь является правильной, и выделить из нее целую часть невозможно.
Ответ: $\frac{2\sqrt{3}-1}{11}$