Номер 13, страница 247 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

13. Найдите значение выражения $\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$.

Для решения данного выражения необходимо упростить каждое его слагаемое по отдельности.

Шаг 1: Упрощение первого слагаемого $\sqrt{19 - 8\sqrt{3}}$

Чтобы извлечь корень, представим подкоренное выражение $19 - 8\sqrt{3}$ в виде полного квадрата разности, используя формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для этого необходимо найти такие $a$ и $b$, чтобы выполнялись условия:

• $a^2 + b^2 = 19$
• $2ab = 8\sqrt{3}$, что эквивалентно $ab = 4\sqrt{3}$

Методом подбора находим, что значения $a=4$ и $b=\sqrt{3}$ удовлетворяют второму условию. Проверим, выполняется ли первое условие:

$a^2 + b^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3 = 19$.

Условие выполняется. Следовательно, подкоренное выражение можно записать в виде квадрата разности:

$19 - 8\sqrt{3} = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (4 - \sqrt{3})^2$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} = \sqrt{(4 - \sqrt{3})^2} = |4 - \sqrt{3}|$.

Поскольку $4 = \sqrt{16}$, а $\sqrt{16} > \sqrt{3}$, разность $4 - \sqrt{3}$ является положительным числом, поэтому модуль можно опустить:

$\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} = 4 - \sqrt{3}$.

Шаг 2: Упрощение второго слагаемого $-\frac{1}{\sqrt{3} - 2}$

Сначала упростим дробь $\frac{1}{\sqrt{3} - 2}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{3} + 2)$:

$\frac{1}{\sqrt{3} - 2} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} = \frac{\sqrt{3} + 2}{(\sqrt{3})^2 - 2^2} = \frac{\sqrt{3} + 2}{3 - 4} = \frac{\sqrt{3} + 2}{-1} = -(\sqrt{3} + 2) = -\sqrt{3} - 2$.

Теперь подставим полученный результат во второе слагаемое исходного выражения:

$-\frac{1}{\sqrt{3} - 2} = -(-\sqrt{3} - 2) = \sqrt{3} + 2$.

Шаг 3: Вычисление итогового значения

Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и выполним сложение:

$\sqrt{19 - 8\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3} - 2} = (4 - \sqrt{3}) + (\sqrt{3} + 2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 2 = (4 + 2) + (-\sqrt{3} + \sqrt{3}) = 6 + 0 = 6$.

Ответ: 6.