Номер 20, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

20. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, зная, что:

а) его корни равны 1 и −7;

б) его корни равны $\frac{1}{6}$ и −6;

в) один из его корней равен $5 - \sqrt{2}$.

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Согласно ей, приведенное квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет корни $x_1$ и $x_2$ в том и только в том случае, если выполняются равенства:

$p = -(x_1 + x_2)$

$q = x_1 \cdot x_2$

Таким образом, уравнение можно составить по формуле: $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$. Если в полученном уравнении коэффициенты будут дробными, его нужно будет домножить на такое число, чтобы все коэффициенты стали целыми.

а) его корни равны 1 и –7;

Пусть $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = 1 + (-7) = -6$

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-7) = -7$

3. Подставим найденные значения в формулу квадратного уравнения:

$x^2 - (-6)x + (-7) = 0$

$x^2 + 6x - 7 = 0$

Коэффициенты 1, 6, -7 являются целыми. Ответ: $x^2 + 6x - 7 = 0$.

б) его корни равны $\frac{1}{6}$ и –6;

Пусть $x_1 = \frac{1}{6}$ и $x_2 = -6$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = \frac{1}{6} + (-6) = \frac{1}{6} - \frac{36}{6} = -\frac{35}{6}$

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{6} \cdot (-6) = -1$

3. Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - (-\frac{35}{6})x + (-1) = 0$

$x^2 + \frac{35}{6}x - 1 = 0$

4. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot (x^2 + \frac{35}{6}x - 1) = 6 \cdot 0$

$6x^2 + 35x - 6 = 0$

Коэффициенты 6, 35, -6 являются целыми. Ответ: $6x^2 + 35x - 6 = 0$.

в) один из его корней равен $5 - \sqrt{2}$.

В условии сказано, что уравнение должно иметь целые коэффициенты. Если квадратное уравнение с рациональными (в данном случае целыми) коэффициентами имеет иррациональный корень вида $a + \sqrt{b}$, то сопряженное ему число $a - \sqrt{b}$ также является корнем этого уравнения.

Таким образом, если $x_1 = 5 - \sqrt{2}$, то второй корень $x_2 = 5 + \sqrt{2}$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = (5 - \sqrt{2}) + (5 + \sqrt{2}) = 10$

2. Найдем произведение корней (используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$):

$x_1 \cdot x_2 = (5 - \sqrt{2})(5 + \sqrt{2}) = 5^2 - (\sqrt{2})^2 = 25 - 2 = 23$

3. Подставим найденные значения в формулу:

$x^2 - (10)x + 23 = 0$

$x^2 - 10x + 23 = 0$

Коэффициенты 1, -10, 23 являются целыми. Ответ: $x^2 - 10x + 23 = 0$.