Номер 23, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

23. Разложите, если это возможно, на множители квадратный трехчлен:

a) $x^2 - 7x - 8$;

б) $4x^2 + 9x + 2$;

в) $4x^2 - 3x + 1$.

Для того чтобы разложить квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$, то трехчлен раскладывается по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$. Разложение на множители с действительными коэффициентами возможно тогда и только тогда, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac$ этого уравнения является неотрицательным ($D \ge 0$).

а) $x^2 - 7x - 8$

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - 7x - 8 = 0$.

Коэффициенты трехчлена: $a=1, b=-7, c=-8$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 9}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Теперь подставим найденные корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2 - 7x - 8 = 1 \cdot (x - 8)(x - (-1)) = (x-8)(x+1)$.

Ответ: $(x-8)(x+1)$.

б) $4x^2 + 9x + 2$

Решим квадратное уравнение $4x^2 + 9x + 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=4, b=9, c=2$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 + 7}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.

$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-9 - 7}{8} = -\frac{16}{8} = -2$.

Подставим корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$4x^2 + 9x + 2 = 4 \cdot (x - (-\frac{1}{4}))(x - (-2)) = 4(x + \frac{1}{4})(x+2)$.

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель 4 в первую скобку:

$4(x + \frac{1}{4}) = 4x + 1$.

В итоге получаем разложение: $(4x+1)(x+2)$.

Ответ: $(4x+1)(x+2)$.

в) $4x^2 - 3x + 1$

Проверим, возможно ли разложить данный трехчлен на множители. для этого найдем дискриминант уравнения $4x^2 - 3x + 1 = 0$.

Коэффициенты: $a=4, b=-3, c=1$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9 - 16 = -7$.

Поскольку $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, данный квадратный трехчлен невозможно разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Ответ: разложить на множители невозможно.