Номер 17, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

17. Составьте какое-нибудь квадратное уравнение, которое:

а) не имеет корней;

б) имеет два целых корня;

в) имеет два иррациональных корня;

г) имеет только один корень.

Для составления квадратных уравнений с заданными свойствами корней воспользуемся общим видом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) и его дискриминантом $D = b^2 - 4ac$. Характер корней уравнения определяется знаком дискриминанта.

• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
• Если $D = 0$, уравнение имеет ровно один действительный корень (или два совпадающих корня).
• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
  • Если при этом $D$ является квадратом рационального числа (полным квадратом, если коэффициенты целые), то корни рациональны.
  • Если $D$ не является квадратом рационального числа, то корни иррациональны.

Рассмотрим каждый случай.

а) не имеет корней;
Чтобы квадратное уравнение не имело действительных корней, его дискриминант должен быть отрицательным, то есть $D < 0$.
Составим уравнение, выбрав коэффициенты $a, b, c$ так, чтобы выполнялось условие $b^2 - 4ac < 0$.
Пусть $a=1, b=2, c=3$.
Тогда дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Поскольку $D < 0$, уравнение $x^2 + 2x + 3 = 0$ не имеет действительных корней.
Ответ: $x^2 + 2x + 3 = 0$.

б) имеет два целых корня;
Чтобы уравнение имело два целых корня, его дискриминант $D$ должен быть положительным и являться полным квадратом. Самый простой способ — задать корни и составить уравнение по теореме Виета.
Пусть корни уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ коэффициенты находятся так:
$p = -(x_1 + x_2) = -(3 + 5) = -8$
$q = x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 5 = 15$
Таким образом, получаем уравнение $x^2 - 8x + 15 = 0$.
Проверим: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 = 2^2$.
Корни: $x = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2}$, то есть $x_1 = 5$ и $x_2 = 3$.
Ответ: $x^2 - 8x + 15 = 0$.

в) имеет два иррациональных корня;
Чтобы уравнение имело два иррациональных корня, его дискриминант $D$ должен быть положительным, но не быть полным квадратом.
Выберем коэффициенты $a, b, c$ так, чтобы $D = b^2 - 4ac > 0$ и $\sqrt{D}$ был иррациональным.
Пусть $a=1, b=4, c=1$.
Тогда дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
$D = 12 > 0$, но $\sqrt{12}$ — иррациональное число. Значит, корни уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$ будут иррациональными.
Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
Ответ: $x^2 + 4x + 1 = 0$.

г) имеет только один корень.
Чтобы квадратное уравнение имело только один корень, его дискриминант должен быть равен нулю, то есть $D = 0$.
Нужно подобрать коэффициенты так, чтобы $b^2 - 4ac = 0$.
Пусть $a=1, b=10$.
Тогда $10^2 - 4 \cdot 1 \cdot c = 0 \implies 100 = 4c \implies c=25$.
Получаем уравнение $x^2 + 10x + 25 = 0$.
Это уравнение можно представить в виде полного квадрата $(x+5)^2 = 0$, откуда видно, что у него один корень $x = -5$.
Проверим дискриминант: $D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0$.
Ответ: $x^2 + 10x + 25 = 0$.