Номер 15, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

15. Воспользуйтесь формулой корней квадратного уравнения и решите уравнение:

а) $x^2 - 6x - 16 = 0$;

б) $3x^2 + 4x + 5 = 0$;

в) $-x^2 + 7x - 10 = 0$;

г) $32x^2 - 12x + 1 = 0$;

д) $25x^2 + 10x + 1 = 0$;

е) $x^2 - x + 0,25 = 0$.

Для решения квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ используется формула корней через дискриминант.

Сначала вычисляется дискриминант по формуле: $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формуле: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих), который находится по формуле: $x = \frac{-b}{2a}$.
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

а) $x^2 - 6x - 16 = 0$

В этом уравнении коэффициенты: $a=1, b=-6, c=-16$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$.

Так как $D = 100 > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{-(-6) + 10}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

$x_2 = \frac{-(-6) - 10}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Ответ: $x_1 = 8, x_2 = -2$.

б) $3x^2 + 4x + 5 = 0$

Коэффициенты: $a=3, b=4, c=5$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

в) $-x^2 + 7x - 10 = 0$

Для удобства умножим все члены уравнения на -1:

$x^2 - 7x + 10 = 0$.

Коэффициенты: $a=1, b=-7, c=10$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

Так как $D = 9 > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{-(-7) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-(-7) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = 2$.

г) $32x^2 - 12x + 1 = 0$

Коэффициенты: $a=32, b=-12, c=1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-12)^2 - 4 \cdot 32 \cdot 1 = 144 - 128 = 16$.

Так как $D = 16 > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.

Находим корни:

$x_1 = \frac{-(-12) + 4}{2 \cdot 32} = \frac{12 + 4}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$.

$x_2 = \frac{-(-12) - 4}{2 \cdot 32} = \frac{12 - 4}{64} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $x_1 = \frac{1}{4}, x_2 = \frac{1}{8}$.

д) $25x^2 + 10x + 1 = 0$

Коэффициенты: $a=25, b=10, c=1$.

Вычисляем дискриминант:

$D = 10^2 - 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 - 100 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.

Находим корень:

$x = \frac{-10}{2 \cdot 25} = \frac{-10}{50} = -\frac{1}{5}$.

Ответ: $x = -\frac{1}{5}$.

е) $x^2 - x + 0,25 = 0$

Коэффициенты: $a=1, b=-1, c=0,25$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,25 = 1 - 1 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень.

Находим корень:

$x = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.