Номер 25, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

25. Решите биквадратное уравнение:

a) $x^4 - 7x^2 + 6 = 0;$

б) $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0;$

в) $5x^4 + 11x^2 + 2 = 0.$

а) Дано биквадратное уравнение $x^4 - 7x^2 + 6 = 0$.
Для его решения введем замену переменной: пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Уравнение преобразуется в квадратное: $t^2 - 7t + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = 7$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = 6$.
Отсюда корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 6$.
Оба значения удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену:
1. Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1$.
2. Если $x^2 = 6$, то $x = \pm \sqrt{6}$.
Ответ: $-\sqrt{6}; -1; 1; \sqrt{6}$.

б) Дано биквадратное уравнение $4x^4 + 3x^2 - 1 = 0$.
Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $4t^2 + 3t - 1 = 0$.
Решим его через дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.
$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_1 = \frac{1}{4}$:
$x^2 = \frac{1}{4}$, откуда $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} = \pm\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}$.

в) Дано биквадратное уравнение $5x^4 + 11x^2 + 2 = 0$.
Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение: $5t^2 + 11t + 2 = 0$.
Решим его через дискриминант: $D = 11^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81$.
$t_1 = \frac{-11 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-11+9}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$.
$t_2 = \frac{-11 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-11-9}{10} = \frac{-20}{10} = -2$.
Оба корня для $t$ отрицательные, что не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: действительных корней нет.