Номер 29, страница 250 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

29. Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 6x + 5;$

б) $y = -x^2 - 4x - 3;$

в) $y = x^2 + 2x + 3;$

г) $y = -x^2 + 4x;$

д) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x;$

е) $y = -x^2 + 9;$

ж) $y = (x - 4)(x + 2);$

з) $y = (x + 5)(1 - x);$

и) $y = 2(x - 1)^2 - 8;$

к) $y = -(x + 3)^2 + 4.$

Для каждой из функций запишите:

1) область определения функции;

2) множество значений функции;

3) наибольшее (наименьшее) значение функции;

4) уравнение оси симметрии параболы;

5) нули функции;

6) промежутки знакопостоянства функции;

7) промежутки монотонности функции.

а) $y = x^2 - 6x + 5$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($a=1 > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика:

• Вершина параболы:
  $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$
  $y_v = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
  Координаты вершины: $(3, -4)$.
• Нули функции (пересечение с осью Ox):
  $x^2 - 6x + 5 = 0$
  По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. Точки: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.
• Пересечение с осью Oy:
  При $x=0$, $y = 0^2 - 6(0) + 5 = 5$. Точка: $(0, 5)$.

Свойства функции:

б) $y = -x^2 - 4x - 3$

Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-1 < 0$).

Для построения графика:

• Вершина параболы:
  $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$
  $y_v = -(-2)^2 - 4(-2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1$
  Координаты вершины: $(-2, 1)$.
• Нули функции:
  $-x^2 - 4x - 3 = 0 \implies x^2 + 4x + 3 = 0$
  По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2 = -3$. Точки: $(-1, 0)$ и $(-3, 0)$.
• Пересечение с осью Oy:
  При $x=0$, $y = -3$. Точка: $(0, -3)$.

Свойства функции:

в) $y = x^2 + 2x + 3$

Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$).

Для построения графика:

• Вершина параболы:
  $x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$
  $y_v = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
  Координаты вершины: $(-1, 2)$.
• Нули функции:
  $x^2 + 2x + 3 = 0$
  Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. Действительных корней нет, парабола не пересекает ось Ox.
• Пересечение с осью Oy:
  При $x=0$, $y = 3$. Точка: $(0, 3)$.

Свойства функции:

г) $y = -x^2 + 4x$

Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-1 < 0$).

Для построения графика:

• Вершина параболы:
  $x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$
  $y_v = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$
  Координаты вершины: $(2, 4)$.
• Нули функции:
  $-x^2 + 4x = 0 \implies -x(x - 4) = 0$
  Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Точки: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
• Пересечение с осью Oy:
  Точка $(0, 0)$.

Свойства функции:

д) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=\frac{1}{2} > 0$).

Для построения графика:

• Вершина параболы:
  $x_v = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -2$
  $y_v = \frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) = 2 - 4 = -2$
  Координаты вершины: $(-2, -2)$.
• Нули функции:
  $\frac{1}{2}x^2 + 2x = 0 \implies x(\frac{1}{2}x + 2) = 0$
  Корни $x_1 = 0$, $x_2 = -4$. Точки: $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.
• Пересечение с осью Oy:
  Точка $(0, 0)$.

Свойства функции:

е) $y = -x^2 + 9$

Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-1 < 0$).

Для построения графика:

• Вершина параболы:
  $x_v = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$
  $y_v = -(0)^2 + 9 = 9$
  Координаты вершины: $(0, 9)$.
• Нули функции:
  $-x^2 + 9 = 0 \implies x^2 = 9$
  Корни $x_1 = 3$, $x_2 = -3$. Точки: $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.
• Пересечение с осью Oy:
  Точка $(0, 9)$.

Свойства функции:

ж) $y = (x - 4)(x + 2)$

Раскроем скобки: $y = x^2 + 2x - 4x - 8 = x^2 - 2x - 8$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$).

Для построения графика:

• Вершина параболы:
  $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$
  $y_v = (1)^2 - 2(1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$
  Координаты вершины: $(1, -9)$.
• Нули функции:
  Из исходного вида $y = (x - 4)(x + 2)$ сразу видны корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -2$. Точки: $(4, 0)$ и $(-2, 0)$.
• Пересечение с осью Oy:
  При $x=0$, $y = 0^2 - 2(0) - 8 = -8$. Точка: $(0, -8)$.

Свойства функции:

з) $y = (x + 5)(1 - x)$

Раскроем скобки: $y = x - x^2 + 5 - 5x = -x^2 - 4x + 5$. Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-1 < 0$).

Для построения графика:

• Вершина параболы:
  $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$
  $y_v = -(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9$
  Координаты вершины: $(-2, 9)$.
• Нули функции:
  Из исходного вида $y = (x + 5)(1 - x)$ сразу видны корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 1$. Точки: $(-5, 0)$ и $(1, 0)$.
• Пересечение с осью Oy:
  При $x=0$, $y = 5$. Точка: $(0, 5)$.

Свойства функции:

и) $y = 2(x - 1)^2 - 8$

Функция задана в виде $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Это парабола с вершиной в точке $(1, -8)$. Ветви направлены вверх ($a=2 > 0$).

Для построения графика:

• Вершина параболы: $(1, -8)$.
• Нули функции:
  $2(x - 1)^2 - 8 = 0 \implies 2(x - 1)^2 = 8 \implies (x - 1)^2 = 4$
  $x - 1 = \pm 2$. Корни: $x_1 = 1 + 2 = 3$, $x_2 = 1 - 2 = -1$. Точки: $(3, 0)$ и $(-1, 0)$.
• Пересечение с осью Oy:
  При $x=0$, $y = 2(0 - 1)^2 - 8 = 2 - 8 = -6$. Точка: $(0, -6)$.

Свойства функции:

к) $y = -(x + 3)^2 + 4$

Функция задана в виде $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Это парабола с вершиной в точке $(-3, 4)$. Ветви направлены вниз ($a=-1 < 0$).

Для построения графика:

• Вершина параболы: $(-3, 4)$.
• Нули функции:
  $-(x + 3)^2 + 4 = 0 \implies (x + 3)^2 = 4$
  $x + 3 = \pm 2$. Корни: $x_1 = -3 + 2 = -1$, $x_2 = -3 - 2 = -5$. Точки: $(-1, 0)$ и $(-5, 0)$.
• Пересечение с осью Oy:
  При $x=0$, $y = -(0 + 3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5$. Точка: $(0, -5)$.

Свойства функции: