Номер 41, страница 252 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

41. Решите двойное неравенство

$6 - x < x^2 \le 16$.

Данное двойное неравенство $6 - x < x^2 \le 16$ равносильно системе двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

Решим каждое неравенство по отдельности.

Решение неравенства $x^2 \le 16$

Перепишем неравенство в виде $x^2 - 16 \le 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 4)(x + 4) \le 0$.

Корни соответствующего уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 4$.

Методом интервалов (или анализируя параболу $y=x^2-16$, ветви которой направлены вверх) находим, что неравенство выполняется на отрезке между корнями, включая концы.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-4; 4]$.

Решение неравенства $x^2 > 6 - x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: $x^2 + x - 6 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Разложим левую часть на множители: $(x+3)(x-2) > 0$.

Методом интервалов (или анализируя параболу $y=x^2+x-6$, ветви которой направлены вверх) находим, что неравенство выполняется на интервалах вне корней.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Нахождение общего решения

Для решения исходного двойного неравенства необходимо найти пересечение (общую часть) решений двух неравенств:

$$[-4; 4] \cap \left( (-\infty; -3) \cup (2; +\infty) \right)$$

Изобразим эти множества на числовой оси. Пересечением будут промежутки, где оба условия выполняются одновременно. Это промежутки от -4 до -3 и от 2 до 4. Учитывая, что точки -4 и 4 включаются (нестрогое неравенство), а точки -3 и 2 исключаются (строгое неравенство), получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [-4; -3) \cup (2; 4]$.