Номер 8, страница 27 - гдз по физике 8 класс учебник Исаченкова, Громыко

8. В алюминиевый сосуд массой $m = 200$ г, содержащий воду массой $m_1 = 0,92$ кг при температуре $t_1 = 10 \degree$С, погрузили чугунный цилиндр при температуре $t_2 = 50 \degree$С. В результате теплообмена установилась температура $t_3 = 30 \degree$С. Какова масса цилиндра, если потери энергии составили $8,0$ %?

Дано:

Масса алюминиевого сосуда: $m = 200 \text{ г}$
Масса воды: $m_1 = 0,92 \text{ кг}$
Начальная температура сосуда и воды: $t_1 = 10 \text{ °C}$
Начальная температура чугунного цилиндра: $t_2 = 50 \text{ °C}$
Конечная температура системы: $t_3 = 30 \text{ °C}$
Потери энергии: $\eta = 8,0 \% = 0,08$
Удельная теплоемкость алюминия (из справочника): $c = 920 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость воды (из справочника): $c_1 = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Удельная теплоемкость чугуна (из справочника): $c_2 = 540 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Перевод в СИ:
$m = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$

Найти:

Массу чугунного цилиндра: $m_2$

Решение:

В процессе теплообмена горячий чугунный цилиндр отдает теплоту, а более холодные вода и алюминиевый сосуд ее получают. Составим уравнение теплового баланса для этой системы.

Количество теплоты, отданное чугунным цилиндром при его остывании от начальной температуры $t_2$ до конечной температуры $t_3$, определяется по формуле:
$Q_{отд} = c_2 m_2 (t_2 - t_3)$

Количество теплоты, полученное водой и алюминиевым сосудом при их нагревании от начальной температуры $t_1$ до конечной температуры $t_3$:
$Q_{пол} = Q_{вода} + Q_{сосуд}$
$Q_{пол} = c_1 m_1 (t_3 - t_1) + c m (t_3 - t_1)$
Вынесем общий множитель за скобки:
$Q_{пол} = (c_1 m_1 + c m)(t_3 - t_1)$

Согласно условию, потери энергии в окружающую среду составляют $\eta = 8,0 \%$. Это значит, что вода и сосуд получили не всю энергию, отданную цилиндром. Полезно использованная энергия составляет $100\% - 8\% = 92\%$ от отданной. Таким образом, уравнение теплового баланса с учетом потерь записывается как:
$Q_{пол} = Q_{отд} \cdot (1 - \eta)$

Подставим выражения для $Q_{пол}$ и $Q_{отд}$ в уравнение баланса:
$(c_1 m_1 + c m)(t_3 - t_1) = c_2 m_2 (t_2 - t_3)(1 - \eta)$

Из этого уравнения выразим искомую массу чугунного цилиндра $m_2$:
$m_2 = \frac{(c_1 m_1 + c m)(t_3 - t_1)}{c_2 (t_2 - t_3)(1 - \eta)}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:
$m_2 = \frac{(4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0,92 \text{ кг} + 920 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0,2 \text{ кг})(30 \text{ °C} - 10 \text{ °C})}{540 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot (50 \text{ °C} - 30 \text{ °C}) \cdot (1 - 0,08)}$
$m_2 = \frac{(3864 \text{ Дж/°C} + 184 \text{ Дж/°C}) \cdot 20 \text{ °C}}{540 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 20 \text{ °C} \cdot 0,92}$
$m_2 = \frac{4048 \text{ Дж/°C} \cdot 20 \text{ °C}}{10800 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0,92}$
$m_2 = \frac{80960 \text{ Дж}}{9936 \text{ Дж/кг}} \approx 8,148148... \text{ кг}$

Большинство исходных данных в задаче представлены с двумя значащими цифрами. Поэтому округлим полученный результат до двух значащих цифр.
$m_2 \approx 8,1 \text{ кг}$

Ответ: масса цилиндра составляет приблизительно 8,1 кг.