Номер 7, страница 27 - гдз по физике 8 класс учебник Исаченкова, Громыко

7. В металлическую кастрюлю при температуре $t_0 = 10 \text{ °C}$ наливают один литр горячей воды, имеющей температуру $t = 90 \text{ °C}$. После установления теплового равновесия температура воды оказалась равной $t_1 = 70 \text{ °C}$. Затем в эту же кастрюлю доливают еще два литра горячей воды, температура которой $t = 90 \text{ °C}$. Какая температура установится в кастрюле? Потерями теплоты пренебречь.

Дано:

$t_0 = 10 \text{ °C}$ (начальная температура кастрюли)
$V_1 = 1 \text{ л}$ (объем первой порции воды, масса $m_1 = 1 \text{ кг}$)
$t = 90 \text{ °C}$ (начальная температура горячей воды)
$t_1 = 70 \text{ °C}$ (равновесная температура после первого этапа)
$V_2 = 2 \text{ л}$ (объем второй порции воды, масса $m_2 = 2 \text{ кг}$)
$c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоемкость воды)

Найти:

$t_2$ — конечная температура в кастрюле.

Решение:

Решение задачи состоит из двух этапов. Сначала найдем теплоемкость кастрюли, используя данные первого эксперимента, а затем, зная теплоемкость кастрюли, найдем конечную температуру после добавления второй порции воды.

1. На первом этапе горячая вода отдает тепло, а холодная кастрюля его получает. Согласно уравнению теплового баланса, количество теплоты, отданное водой ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, полученному кастрюлей ($Q_{пол}$). Потерями тепла пренебрегаем.
Количество теплоты, отданное водой: $Q_{отд} = c_в \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$.
Количество теплоты, полученное кастрюлей: $Q_{пол} = C_к \cdot (t_1 - t_0)$, где $C_к$ — теплоемкость кастрюли.

Приравнивая количества теплоты, получаем: $c_в \cdot m_1 \cdot (t - t_1) = C_к \cdot (t_1 - t_0)$

Выразим и вычислим теплоемкость кастрюли $C_к$:
$C_к = \frac{c_в \cdot m_1 \cdot (t - t_1)}{t_1 - t_0} = \frac{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1 \text{ кг} \cdot (90 \text{ °C} - 70 \text{ °C})}{70 \text{ °C} - 10 \text{ °C}} = \frac{4200 \cdot 20}{60} = 1400 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}}$

2. На втором этапе в систему, состоящую из кастрюли и первой порции воды (общей температурой $t_1 = 70 \text{ °C}$), добавляют вторую порцию горячей воды. Теперь система "кастрюля + первая порция воды" получает тепло, а вторая порция воды его отдает до установления новой равновесной температуры $t_2$.

Количество теплоты, полученное системой "кастрюля + первая порция воды":
$Q'_{пол} = (C_к + c_в \cdot m_1) \cdot (t_2 - t_1)$
Количество теплоты, отданное второй порцией воды:
$Q'_{отд} = c_в \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Составляем новое уравнение теплового баланса:
$(C_к + c_в \cdot m_1) \cdot (t_2 - t_1) = c_в \cdot m_2 \cdot (t - t_2)$

Подставляем числовые значения:
$(1400 + 4200 \cdot 1) \cdot (t_2 - 70) = 4200 \cdot 2 \cdot (90 - t_2)$
$5600 \cdot (t_2 - 70) = 8400 \cdot (90 - t_2)$

Упростим уравнение, разделив обе части на 2800:
$2 \cdot (t_2 - 70) = 3 \cdot (90 - t_2)$

Раскрываем скобки и решаем уравнение относительно $t_2$:
$2t_2 - 140 = 270 - 3t_2$
$2t_2 + 3t_2 = 270 + 140$
$5t_2 = 410$
$t_2 = \frac{410}{5} = 82 \text{ °C}$

Ответ: установится температура 82 °C.