Номер 14, страница 49 - гдз по физике 8 класс учебник Исаченкова, Громыко

14. Смесь, состоящую из воды массой $m_1 = 7,5$ кг и льда массой $m_2 = 2,5$ кг, находящуюся при температуре $t_1 = 0,0 \text{ }^\circ\text{C}$, необходимо нагреть до температуры $t_2 = 50 \text{ }^\circ\text{C}$ путем пропускания водяного пара, температура которого $t_3 = 100 \text{ }^\circ\text{C}$. Определите массу пара. Потерями энергии пренебречь.

Дано:

Масса воды $m_1 = 7,5$ кг
Масса льда $m_2 = 2,5$ кг
Начальная температура смеси $t_1 = 0,0$ °C
Конечная температура смеси $t_2 = 50$ °C
Температура водяного пара $t_3 = 100$ °C
Удельная теплоемкость воды $c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$
Удельная теплота плавления льда $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$
Удельная теплота парообразования воды $L = 2,3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг}$

Найти:

Массу пара $m_3$.

Решение:

Поскольку потерями энергии можно пренебречь, согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отданное водяным паром при конденсации и охлаждении, равно количеству теплоты, полученному смесью воды и льда для плавления и нагревания. Запишем уравнение теплового баланса: $Q_{отданное} = Q_{полученное}$.

Количество теплоты, которое необходимо сообщить смеси для нагрева до $t_2 = 50$ °C, складывается из:

1. Теплоты, необходимой для плавления льда массой $m_2$ при температуре $t_1 = 0$ °C: $Q_{плавления} = \lambda \cdot m_2$

2. Теплоты, необходимой для нагревания всей воды (изначальной массой $m_1$ и образовавшейся из растаявшего льда массой $m_2$) от начальной температуры $t_1$ до конечной $t_2$: $Q_{нагревания} = c \cdot (m_1 + m_2) \cdot (t_2 - t_1)$

Суммарное полученное количество теплоты: $Q_{полученное} = Q_{плавления} + Q_{нагревания} = \lambda \cdot m_2 + c \cdot (m_1 + m_2) \cdot (t_2 - t_1)$

Количество теплоты, которое отдает пар массой $m_3$, складывается из:

1. Теплоты, выделяющейся при конденсации пара при температуре $t_3 = 100$ °C: $Q_{конденсации} = L \cdot m_3$

2. Теплоты, выделяющейся при охлаждении воды, образовавшейся из пара, от температуры $t_3$ до конечной температуры $t_2$: $Q_{охлаждения} = c \cdot m_3 \cdot (t_3 - t_2)$

Суммарное отданное количество теплоты: $Q_{отданное} = Q_{конденсации} + Q_{охлаждения} = L \cdot m_3 + c \cdot m_3 \cdot (t_3 - t_2) = m_3 \cdot (L + c \cdot (t_3 - t_2))$

Приравниваем полученное и отданное количество теплоты: $\lambda \cdot m_2 + c \cdot (m_1 + m_2) \cdot (t_2 - t_1) = m_3 \cdot (L + c \cdot (t_3 - t_2))$

Выразим из этого уравнения искомую массу пара $m_3$: $m_3 = \frac{\lambda \cdot m_2 + c \cdot (m_1 + m_2) \cdot (t_2 - t_1)}{L + c \cdot (t_3 - t_2)}$

Подставим числовые значения и произведем расчеты.

Вычислим количество полученной теплоты: $Q_{полученное} = 3,3 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 2,5 \text{ кг} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot (7,5 \text{ кг} + 2,5 \text{ кг}) \cdot (50 \text{ °C} - 0 \text{ °C}) = 825000 \text{ Дж} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 10 \text{ кг} \cdot 50 \text{ °C} = 825000 \text{ Дж} + 2100000 \text{ Дж} = 2925000 \text{ Дж}$.

Вычислим энергию, выделяемую 1 кг пара: $L + c \cdot (t_3 - t_2) = 2,3 \cdot 10^6 \frac{Дж}{кг} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot (100 \text{ °C} - 50 \text{ °C}) = 2300000 \frac{Дж}{кг} + 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 50 \text{ °C} = 2300000 \frac{Дж}{кг} + 210000 \frac{Дж}{кг} = 2510000 \frac{Дж}{кг}$.

Теперь найдем массу пара: $m_3 = \frac{2925000 \text{ Дж}}{2510000 \frac{Дж}{кг}} \approx 1,1653 \text{ кг}$.

Округляя результат до сотых, получаем: $m_3 \approx 1,17 \text{ кг}$.

Ответ: $1,17$ кг.