Номер 3.43, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.43. Найдите все значения аргумента, при которых значение функции $y = 2x - \frac{3x^2 - 4x - 20}{x+2}$ равно 5.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно 5, нужно решить уравнение:

$$2x - \frac{3x^2 - 4x - 20}{x+2} = 5$$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$$x + 2 \neq 0$$

$$x \neq -2$$

2. Преобразуем и решим уравнение. Перенесем 5 в левую часть, а дробь — в правую:

$$2x - 5 = \frac{3x^2 - 4x - 20}{x+2}$$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x+2)$, учитывая, что $x \neq -2$:

$$(2x - 5)(x + 2) = 3x^2 - 4x - 20$$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$$2x^2 + 4x - 5x - 10 = 3x^2 - 4x - 20$$

$$2x^2 - x - 10 = 3x^2 - 4x - 20$$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$$3x^2 - 2x^2 - 4x + x - 20 + 10 = 0$$

$$x^2 - 3x - 10 = 0$$

3. Найдем корни полученного квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу с дискриминантом. Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$$a=1, b=-3, c=-10$$

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

4. Сравним полученные корни с областью допустимых значений ($x \neq -2$).

• Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию ОДЗ.
• Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию ОДЗ, следовательно, является посторонним корнем.

Таким образом, единственное значение аргумента, при котором функция равна 5, это 5.

Ответ: 5.