Номер 3.36, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.36. Верно ли, что уравнения $\frac{x^2 - 81}{x - 9} = 0$ и $\frac{x^2 + 11x + 18}{x + 2} = 0$ равносильны? Придумайте пример линейного уравнения, равносильного данным.

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Чтобы ответить на вопрос, необходимо найти корни каждого уравнения и сравнить их.

Верно ли, что уравнения $\frac{x^2 - 81}{x - 9} = 0$ и $\frac{x^2 + 11x + 18}{x + 2} = 0$ равносильны?

1. Рассмотрим первое уравнение: $\frac{x^2 - 81}{x - 9} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$$ \begin{cases} x^2 - 81 = 0 \\ x - 9 \neq 0 \end{cases} $$

Решаем первое уравнение системы: $x^2 - 81 = 0$. Используя формулу разности квадратов, получаем $(x-9)(x+9)=0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 9$, $x_2 = -9$.

Учитываем второе условие системы: $x - 9 \neq 0$, то есть $x \neq 9$.

Следовательно, корень $x_1 = 9$ не входит в область допустимых значений. Единственным решением первого уравнения является $x = -9$.

2. Рассмотрим второе уравнение: $\frac{x^2 + 11x + 18}{x + 2} = 0$.

Аналогично, составим систему:

$$ \begin{cases} x^2 + 11x + 18 = 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} $$

Решаем квадратное уравнение $x^2 + 11x + 18 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-11$, а их произведение равно $18$. Легко подобрать корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -9$.

Учитываем второе условие системы: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Следовательно, корень $x_1 = -2$ не входит в область допустимых значений. Единственным решением второго уравнения является $x = -9$.

Так как множества решений обоих уравнений совпадают и состоят из одного элемента $\{-9\}$, данные уравнения являются равносильными.

Ответ: Да, верно.

Придумайте пример линейного уравнения, равносильного данным.

Нам необходимо составить линейное уравнение, которое имеет тот же единственный корень $x = -9$.

Простейшее линейное уравнение с корнем $x = -9$ можно получить, если перенести корень в левую часть уравнения:

$x = -9$

$x + 9 = 0$

Это линейное уравнение, и его единственный корень равен $-9$. Следовательно, оно равносильно данным уравнениям.

Ответ: $x + 9 = 0$.