Номер 3.29, страница 150 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.29*. Найдите корни уравнения:

a) $\frac{1}{x-1} - \frac{3}{x^2+2} = \frac{3}{x^3-x^2+2x-2}$;

б) $\frac{4}{x^2-16} - \frac{1}{x^2+8x+16} = \frac{10}{x^3-16x-4x^2+64}$.

a) Рассмотрим уравнение:

Сначала разложим на множители знаменатель в правой части уравнения, используя метод группировки:

Теперь уравнение можно переписать в виде:

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю. Выражение $x^2+2$ всегда положительно, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, единственное ограничение - это $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x^2+2)$, чтобы избавиться от дробей:

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета. Сумма корней равна $3$, а их произведение равно $2$. Корнями являются $x_1=1$ и $x_2=2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$).

• Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель дроби $\frac{1}{x-1}$ обращается в ноль. Это посторонний корень.
• Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 2.

б) Рассмотрим уравнение:

Разложим на множители все знаменатели:

• $x^2-16 = (x-4)(x+4)$ (разность квадратов)
• $x^2+8x+16 = (x+4)^2$ (полный квадрат)
• $x^3-16x-4x^2+64 = x^3-4x^2-16x+64 = x^2(x-4)-16(x-4) = (x^2-16)(x-4) = (x-4)(x+4)(x-4) = (x-4)^2(x+4)$ (группировка)

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x-4 \neq 0$ и $x+4 \neq 0$. Таким образом, $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

Наименьший общий знаменатель для всех дробей равен $(x-4)^2(x+4)^2$. Умножим обе части уравнения на него:

После сокращения дробей получим:

Раскроем скобки и упростим выражение:

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

Оба корня, $x_1 = \frac{20}{3}$ и $x_2 = -6$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 4, x \neq -4$).

Представим неправильную дробь $\frac{20}{3}$ в виде смешанного числа: $6\frac{2}{3}$.

Ответ: -6; 6$\frac{2}{3}$.