Номер 3.31, страница 150 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.31*. Найдите количество целых корней уравнения $ \frac{2}{x^2 - 6x + 8} = \frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x - 2} $ на промежутке $ [-1; 7] $.

Для нахождения количества целых корней уравнения на заданном промежутке, сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения, решим его, а затем отберем подходящие корни и подсчитаем их количество.

1. Нахождение Области Допустимых Значений (ОДЗ)

Уравнение содержит дроби, поэтому их знаменатели не могут быть равны нулю. Запишем условия:

• $x^2 - 6x + 8 \neq 0$
• $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$
• $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 6x + 8$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8. Корнями являются $x_1=2$ и $x_2=4$.

Следовательно, $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.

Таким образом, область допустимых значений определяется условиями: $x \neq 2$ и $x \neq 4$.

2. Решение уравнения

Исходное уравнение: $\frac{2}{x^2 - 6x + 8} = \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x-2}$

Подставим разложенный на множители знаменатель в левую часть и приведем правую часть к общему знаменателю $(x-4)(x-2)$:

$\frac{2}{(x-2)(x-4)} = \frac{1 \cdot (x-2)}{(x-4)(x-2)} - \frac{1 \cdot (x-4)}{(x-4)(x-2)}$

Выполним вычитание в правой части:

$\frac{2}{(x-2)(x-4)} = \frac{(x-2) - (x-4)}{(x-2)(x-4)}$

$\frac{2}{(x-2)(x-4)} = \frac{x-2-x+4}{(x-2)(x-4)}$

$\frac{2}{(x-2)(x-4)} = \frac{2}{(x-2)(x-4)}$

Полученное равенство является тождеством. Это означает, что оно верно для всех значений $x$, входящих в область допустимых значений.

3. Поиск и подсчет целых корней на промежутке [-1; 7]

Решением уравнения являются все действительные числа, за исключением $x=2$ и $x=4$.

Теперь найдем все целые числа, которые принадлежат промежутку $[-1; 7]$:

-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Из этого списка необходимо исключить значения, которые не входят в ОДЗ, то есть 2 и 4.

В результате получаем следующий набор целых корней, удовлетворяющих уравнению на заданном промежутке:

-1, 0, 1, 3, 5, 6, 7.

Подсчитаем количество этих чисел: их 7.

Количество целых корней уравнения на промежутке [-1; 7]: Ответ: 7