Номер 3.41, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.41. Найдите нули функции $f(x) = \frac{x^2 - 14}{x^2 - 4} + \frac{5x}{4 - x^2}$.

Чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции к нулю и решить полученное уравнение $f(x) = 0$.

Запишем уравнение:

$ \frac{x^2 - 14}{x^2 - 4} + \frac{5x}{4 - x^2} = 0 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x^2 - 4 \neq 0 \implies (x - 2)(x + 2) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь преобразуем уравнение, приведя дроби к общему знаменателю. Заметим, что $4 - x^2 = -(x^2 - 4)$.

$ \frac{x^2 - 14}{x^2 - 4} + \frac{5x}{-(x^2 - 4)} = 0 $

$ \frac{x^2 - 14}{x^2 - 4} - \frac{5x}{x^2 - 4} = 0 $

Объединим дроби:

$ \frac{x^2 - 14 - 5x}{x^2 - 4} = 0 $

Дробное выражение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель мы уже учли в ОДЗ.

Приравняем числитель к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

$ x^2 - 5x - 14 = 0 $

Воспользуемся теоремой Виета или решим через дискриминант. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 $

$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $

Сравним полученные корни с областью допустимых значений ($x \neq 2$ и $x \neq -2$):

• Корень $x_1 = 7$ принадлежит ОДЗ.
• Корень $x_2 = -2$ не принадлежит ОДЗ, поэтому является посторонним корнем.

Таким образом, функция имеет только один нуль.

Ответ: 7.