Номер 3.48, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.48. Составьте модель условия и решите задачу:

а) Протяженность шоссе между двумя городами составляет 240 км. Для доставки груза из одного города в другой одновременно выехали два автомобиля. Один из них двигался со скоростью на 20 $\frac{\text{км}}{\text{ч}}$ больше, чем другой, и прибыл в пункт назначения на 1 ч раньше другого. Найдите скорости автомобилей.

б) Первая труба заполняет водой аквариум объемом 10 $\text{м}^3$ на 5 минут быстрее, чем вторая труба. Найдите, сколько кубических метров воды вытекает в час из каждой трубы, если из первой трубы в час вытекает на 10 $\text{м}^3$ больше воды, чем из второй.

а) Для составления модели условия введем переменные. Пусть $v$ км/ч — скорость второго (более медленного) автомобиля. Тогда скорость первого автомобиля, который двигался быстрее, будет $(v + 20)$ км/ч.

Оба автомобиля проехали одинаковое расстояние $S = 240$ км.

Время, затраченное вторым (медленным) автомобилем, равно $t_2 = \frac{S}{v} = \frac{240}{v}$ ч.

Время, затраченное первым (быстрым) автомобилем, равно $t_1 = \frac{S}{v+20} = \frac{240}{v+20}$ ч.

По условию, первый автомобиль прибыл на 1 час раньше второго, следовательно, $t_2 - t_1 = 1$ ч.

Составим уравнение, которое является математической моделью задачи:

$\frac{240}{v} - \frac{240}{v+20} = 1$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $v(v+20)$, при условии, что $v > 0$ (так как скорость не может быть отрицательной или равной нулю):

$240(v+20) - 240v = v(v+20)$

Раскроем скобки и упростим:

$240v + 4800 - 240v = v^2 + 20v$

$4800 = v^2 + 20v$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$v^2 + 20v - 4800 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Найдем корни уравнения:

$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 140}{2}$

$v_1 = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$v_2 = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $v_2 = -80$ не является решением задачи. Следовательно, скорость второго (медленного) автомобиля равна 60 км/ч.

Тогда скорость первого (быстрого) автомобиля равна $v + 20 = 60 + 20 = 80$ км/ч.

Ответ: скорость одного автомобиля 60 км/ч, а другого — 80 км/ч.

б) Для составления модели условия введем переменные. Пусть $x$ м³/ч — производительность второй трубы (сколько кубических метров воды вытекает за час). Тогда производительность первой трубы, из которой вытекает на 10 м³ в час больше, равна $(x+10)$ м³/ч.

Объем аквариума, который нужно заполнить, составляет $V = 10$ м³.

Время, за которое вторая труба заполнит аквариум, равно $t_2 = \frac{V}{x} = \frac{10}{x}$ ч.

Время, за которое первая труба заполнит аквариум, равно $t_1 = \frac{V}{x+10} = \frac{10}{x+10}$ ч.

По условию, первая труба заполняет аквариум на 5 минут быстрее. Переведем минуты в часы: 5 минут = $\frac{5}{60}$ часа = $\frac{1}{12}$ часа. Таким образом, $t_2 - t_1 = \frac{1}{12}$ ч.

Составим уравнение, которое является математической моделью задачи:

$\frac{10}{x} - \frac{10}{x+10} = \frac{1}{12}$

Теперь решим это уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $12x(x+10)$, при условии, что $x > 0$ (производительность не может быть отрицательной или равной нулю):

$10 \cdot 12(x+10) - 10 \cdot 12x = x(x+10)$

Раскроем скобки и упростим:

$120(x+10) - 120x = x^2 + 10x$

$120x + 1200 - 120x = x^2 + 10x$

$1200 = x^2 + 10x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 10x - 1200 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 70}{2}$

$x_1 = \frac{-10 + 70}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-10 - 70}{2} = \frac{-80}{2} = -40$

Так как производительность не может быть отрицательной, корень $x_2 = -40$ не является решением задачи. Следовательно, производительность второй трубы равна 30 м³/ч.

Тогда производительность первой трубы равна $x + 10 = 30 + 10 = 40$ м³/ч.

Ответ: из первой трубы вытекает 40 м³ воды в час, а из второй — 30 м³ воды в час.