Номер 3.52, страница 153 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.52*. Найдите корни уравнения

$\frac{x}{x^2 + 6x + 5} + \frac{3x+1}{2x^2 + 8x - 10} = \frac{2x+68}{x^3 + 5x^2 - x - 5}$

Исходное уравнение:

Для решения данного уравнения, в первую очередь, необходимо разложить знаменатели на множители, чтобы определить область допустимых значений (ОДЗ) и найти общий знаменатель.

1. Разложение знаменателей на множители:

• Знаменатель первой дроби: $x^2 + 6x + 5$.
  Корни квадратного уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.
  Следовательно, $x^2 + 6x + 5 = (x+1)(x+5)$.
• Знаменатель второй дроби: $2x^2 + 8x - 10 = 2(x^2 + 4x - 5)$.
  Корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.
  Следовательно, $2x^2 + 8x - 10 = 2(x-1)(x+5)$.
• Знаменатель третьей дроби: $x^3 + 5x^2 - x - 5$.
  Сгруппируем слагаемые: $x^2(x+5) - (x+5) = (x^2-1)(x+5)$.
  Используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, получаем: $(x-1)(x+1)(x+5)$.

2. Определение области допустимых значений (ОДЗ):

Знаменатели не должны равняться нулю, поэтому из разложений выше следует:
$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$
$x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$
Таким образом, ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-5, -1, 1\}$.

3. Решение уравнения:

Перепишем уравнение с разложенными на множители знаменателями:

Общий знаменатель дробей равен $2(x-1)(x+1)(x+5)$. Умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей (при условии, что $x$ входит в ОДЗ):

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2+bx+c=0$:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

4. Проверка корней на соответствие ОДЗ:

Необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений ($x \neq -5, x \neq -1, x \neq 1$).

• Корень $x_1 = 5.4$ удовлетворяет условиям ОДЗ.
• Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условиям ОДЗ, так как при этом значении знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Следовательно, $x = -5$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x=5.4$. Представим его в виде смешанной дроби: $5.4 = \frac{54}{10} = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5}$.

Ответ: $5\frac{2}{5}$