Номер 3.57, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.57. Вычислите:

a) $(125 \cdot 5^{-4})^2$;

б) $\frac{3^{-4} \cdot 3^{-9}}{3^{-12}}$;

в) $1000^{-6} \cdot (10^2)^9$.

а) Для вычисления значения выражения $(125 \cdot 5^{-4})^2$ воспользуемся свойствами степеней.

1. Представим число 125 как степень числа 5: $125 = 5^3$.
2. Подставим полученное значение в исходное выражение: $(5^3 \cdot 5^{-4})^2$.
3. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) для выражения в скобках: $5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3+(-4)} = 5^{-1}$.
4. Теперь выражение выглядит так: $(5^{-1})^2$.
5. Применим правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$): $5^{-1 \cdot 2} = 5^{-2}$.
6. Используем определение степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), чтобы получить конечный результат: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{25}$.

б) Для вычисления значения выражения $\frac{3^{-4} \cdot 3^{-9}}{3^{-12}}$ также используем свойства степеней.

1. Сначала упростим числитель дроби, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $3^{-4} \cdot 3^{-9} = 3^{-4+(-9)} = 3^{-13}$.
2. Теперь выражение имеет вид: $\frac{3^{-13}}{3^{-12}}$.
3. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$): $3^{-13 - (-12)} = 3^{-13+12} = 3^{-1}$.
4. Преобразуем степень с отрицательным показателем в дробь: $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) Для вычисления значения выражения $1000^{-6} \cdot (10^2)^9$ приведем все числа к основанию 10.

1. Представим число 1000 как степень числа 10: $1000 = 10^3$.
2. Подставим это значение в выражение: $(10^3)^{-6} \cdot (10^2)^9$.
3. Воспользуемся правилом возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$) для обоих множителей: $10^{3 \cdot (-6)} \cdot 10^{2 \cdot 9} = 10^{-18} \cdot 10^{18}$.
4. Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$): $10^{-18+18} = 10^0$.
5. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $10^0 = 1$.

Ответ: 1.